¿Es consistente la teoría de números?

Answer 1

Parece una invitación a repasar los teoremas de Goedel, que ya se han explicado mejor en otros lugares [1].

Mencionaré una formulación de Raymond Smullyan. Supongamos que todo lo que crees es verdad. Alguien se te acerca y te dice: “Nunca creerás esta frase”. Si alguna vez lo crees, será falso, y dado que todo lo que crees es verdad, eso no puede ser. Por lo tanto, debe ser cierto y, en consecuencia, nunca lo creerás.

Pero espera, si acabamos de argumentar que es verdad, ¿por qué no deberías creerlo? La única forma de salir de esto es concluir: si todo lo que crees es cierto, nunca podrás creer este hecho. (¡Pero otras personas pueden creerlo!)

Traducido a la teoría de números (con lo que me refiero a la aritmética de Peano): bien puede ser consistente; pero si es así, nunca puede probar ese hecho. (Pero otros sistemas aritméticos pueden probarlo)

Mi propia opinión: la teoría de números (como todas las matemáticas) es, en última instancia, una ciencia empírica y física. Probar su consistencia en un sentido absoluto sería similar a probar absolutamente cualquier Ley Natural; requeriría un estudio completo de todo el cosmos, lo cual es imposible, y no viene al caso. Confiaría en mi vida con la coherencia de la teoría de números, en la misma medida en que confío en mi vida para, digamos, conservación de la energía.

Notas al pie

[1] Gödel, Escher, Bach.

Answer 2

La mayoría de la gente piensa que sí.

Sin embargo, no se puede demostrar, debido a los teoremas de incompletitud de Gödel, específicamente el segundo: ningún sistema de cierta expresividad puede probarse como consistente, porque si un sistema de aritmética puede probar su propia consistencia, es inconsistente (mi parafraseo).

No profundizaré en los detalles del teorema aquí. En pocas palabras, cualquier sistema de teoría de números que sea lo suficientemente fuerte (“expresivo”) como para demostrar su propia consistencia, también es lo suficientemente fuerte como para probar una inconsistencia (para hacer un ejemplo coloquial, sería como si pudieras formular la oración en inglés ” Esta oración es una mentira “).

Se podría demostrar que un sistema de teoría de números es consistente en un sistema diferente de orden superior … Pero ese sistema también cumpliría con la misma limitación de incompletitud.

Sin embargo, la prueba de consistencia de Gentzen afirma demostrar la consistencia de los axiomas de Peano de la aritmética de primer orden (el sistema de teoría de números más utilizado), y esta prueba usa un sistema que no es más fuerte (ni más débil) que Peano. Sin embargo, este sistema agrega una capacidad de teoría de números (llamada “inducción transfinita” hasta cierto ordinal). Esta inducción no es demostrable, cumpliendo el primer teorema de incompletitud de Gödel: cualquier sistema de cierta expresividad es incompleto, porque contendrá declaraciones que no puede probar ni refutar.

Todo esto no significa que la teoría de números según los axiomas de Peano sea inconsistente, pero significa que no podemos probar que sea consistente, un hecho que el sistema comparte con todos los demás sistemas de cierta expresividad.

Para concluir:

La gran mayoría de los matemáticos contemporáneos creen que los axiomas de Peano son consistentes, confiando ya sea en la intuición o en la aceptación de una prueba de consistencia como la prueba de Gentzen.

(de los axiomas de Peano)