La respuesta es [matemáticas] 8 [/ matemáticas]
Use la propiedad básica de la media aritmética y geométrica (AM y GM).
[matemáticas] \ sqrt [3] {n + 1} – \ sqrt [3] {n} <\ frac {1} {12} [/ matemáticas]
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- ¿Es [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {127} -1} -1 [/ matemáticas] primo?
- ¿Estaba claro este problema porque tenía que usar la estimación en serie alterna del resto en lugar de la fórmula de Lagrange para el resto?
- ¿Dónde me equivoqué al calcular el menor residuo no negativo de [matemáticas] 3 ^ {3 ^ {2012}} \ cdot2 ^ {342} (\ mod 5) [/ matemáticas]?
- ¿Cuántos pares diferentes [matemáticas] (x, y); x, y \ in \ mathbb {Z} ^ {+} [/ math] satisface [math] \ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {n} [/ math], con [math] n [/ math] siendo una constante entera dada [math] \ geq 2 [/ math]?
- ¿Por qué la codificación aritmética puede tener una longitud de palabra de código fraccional?
[matemáticas] a = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt [3] {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = \ sqrt [3] {n} [/ matemáticas]
Ahora
[matemáticas] 12 <1 / (ab) [/ matemáticas]
-Multiplicación [matemática] a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemática] en Numerador y Denominador en el lado derecho
[matemáticas] 12 <(a ^ 2 + ab + b ^ 2) / ((ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)) [/ matemáticas] ——— ( En la ecuación 1 )
-Ahora, ya que [matemáticas] (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) = a ^ 3 – b ^ 3, [/ matemáticas]
-Sustituyendo los valores de [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] en [matemática] a ^ 3 – b ^ 3, [/ matemática] obtenemos [matemática] a ^ 3 – b ^ 3 = 1; [/ matemáticas]
-Por lo tanto, obtenemos:
[matemáticas] 12 <a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemáticas] (forma modificada de la ecuación 1. Llamémosla la ecuación 2 )
-Ahora, al dividir ambos lados por 3 (ya que RHS tiene 3 términos)
[matemática] 4 <(a ^ 2 + ab + b ^ 2) / 3 [/ matemática] —- (Inecuación 2 dividida por 3)
-Ahora, ¿no “parece” la ecuación anterior como [matemática] 4 <[/ matemática] [matemática] GM \ leq \ AM [/ matemática]?
[matemáticas] AM = [/ matemáticas] [matemáticas] (a ^ 2 + ab + b ^ 2) / 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] GM = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt [3] {(a ^ 2 * ab * b ^ 2)} = \ sqrt [3] {(ab) ^ 3} = ab; [/ matemáticas]
-Así que ahora podemos decir que, [matemáticas] 4 <GM [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] 4 <ab [/ matemáticas] o [matemáticas] 64 <(ab) ^ 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] (ab) ^ 3 = n (n + 1); [/ matemáticas]
-Por lo tanto, [matemáticas] 64 <n (n + 1) [/ matemáticas]
-Resuelve la ecuación cuadrática [matemática] n ^ 2 + n-64> 0 [/ matemática]
-El entero positivo más cercano que obtendrá es [matemática] 8 [/ matemática] (que satisfará la ecuación cuadrática).