¿Es [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {127} -1} -1 [/ matemáticas] primo? Educación te da un futuro mejor

Lo que parece haberse perdido en las otras respuestas es que no solo pregunta si un número es primo, sino que realmente pregunta si la secuencia:
M1 = 2 ^ 2–1 = 3, M2 = 2 ^ 3–1 = 7, M3 = 2 ^ 7–1 = 127, M4 = 2 ^ 127–1, M5 = 2 ^ (2 ^ 127–1) – 1, continúa de la manera que describiste es una secuencia generadora de números primos en la que todos los números son números primos. Eso sería bastante notable, indicando que cada número de la forma 2 ^… (2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ 2–1) -1) -1) -1) -1) … -1) sería primo. Voy a investigar esto más. Todavía no lo sé, pero sería la primera secuencia descubierta de este tipo que generó números primos que se agrandan muy rápidamente.
Nota: M1, M2, M3 y M4 son todos primos (busqué M4). Además, como Mark Gritter encontró en los comentarios, M5 no tiene factores primos inferiores a 1000000, lo que da algo de esperanza. Además, esta secuencia sería similar a la secuencia de Fermat Primes que son cualquier número de la forma 1 + 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2… ^ 2 (donde la torre de poder de 2 puede tener cualquier número natural de 2), y aunque Fermat estaba equivocado acerca de que todos ellos eran primos, puede haber estado en el camino correcto si esta secuencia resulta ser primordial para todos los valores.

Actualización 4:

Incluso las pruebas de primalidad probables parecen difíciles de ejecutar en un número de magnitud 2 ^ (2 ^ 127–1) -1, ya que requieren comenzar con un número aleatorio x entre 1 y 2 ^ (2 ^ 127–1) -1 donde x básicamente se garantizaría tener más de 10 ^ 37 dígitos decimales ya que esto es cierto para casi todos los números en este rango. Algo así como seleccionar aleatoriamente el número seleccionando aleatoriamente su factorización prima donde tiene una probabilidad de 1 / p de tener una p en él todavía no sería realista, y no estoy seguro de qué método nos permitiría seleccionar un número tan aleatorio.

Si 2 ^ p-1 es primo, entonces 2 ^ (2 ^ p-1) -1 pasará la prueba de primalidad alemana de Sophie, ya que 2 ^ p-1 ser primo implica 2 * (2 ^ p-1) + 1 = 2 ^ (p + 1) -1 no es primo.

Sin embargo, hay números de la forma 2 ^ (2 ^ p-1) -1 donde 2 ^ p-1 es primo que son compuestos como 2 ^ (2 ^ 13–1) -1 = 2 ^ 8191–1 ya que 8191 no está en la secuencia de exponentes p tal que 2 ^ p-1 es primo:

A000043 – OEIS

Los números de la forma 2 ^ (2 ^ (2 ^ p-1) -1) -1 son primos para p = 2,3 donde p es primo, pero esta secuencia crece rápidamente, por lo que p = 5 dando 2 ^ (2 ^ 31 ) -1 ya es más grande que el primo más grande conocido y, por lo tanto, se sabe que no es primo o se desconoce si es primo.

Actualizar:
Sea x> 1 impar. El número más pequeño n, de modo que 2 ^ n = 1 (mod x) requiere n <x. Entonces, si 2 ^ p = 1 (mod x) yx <p, entonces algún número menor que x y, por lo tanto, menor que p debe dividir p (p debe ser un múltiplo del número más pequeño n, de modo que 2 ^ n = 1 (mod x)). Entonces, si p es primo, entonces es imposible tener 2 ^ p = 1 (mod x) y x <p.
Ahora, 2 ^ (2 ^ 127-1) -1 (mod x) donde x <2 ^ 127-1 nunca debe ser cero ya que 2 ^ (2 ^ 127-1) es 2 ^ (primo), entonces 2 ^ (2 ^ 127-1) no es 1 (mod x).
Por lo tanto, 2 ^ (2 ^ 127-1) -1 no es divisible por ningún primo menor que 2 ^ 127-1. Además, 2 ^ (2 ^ 127-1) -1 = 1 (mod 2 ^ 127-1) por el pequeño teorema de Fermat.
Actualización 2:
Otra forma de expresar la prueba anterior:
Deja que p sea primo. Sea x> 1 un número impar tal que x <p y 2 ^ p-1 = 0 (mod x). Como p es primo, es el exponente más pequeño de modo que 2 ^ p = 1 (mod x). Sea O (x) la función Euler-Totient de x. Por el teorema de Euler, 2 ^ O (x) = 1 (mod x). Entonces, p divide
Buey). Pero O (x) <p ya que O (x) <x

0 porque x> 1. Contradicción.
Por lo tanto, si p es primo, entonces no hay un número impar x tal que 1 <x <p divida 2 ^ p-1. (Y ningún número par divide 2 ^ p-1 ya que 2 ^ p-1 es impar).
Actualización 3:
Si hacemos x (no igual a q) primo en la prueba anterior (Actualización 2) y reemplazamos todas las ocurrencias del número 2 con un primo q, entonces podemos concluir que ningún primo menor que p y no igual a 2 divide q ^ p-1. * (si x = q, x aún no divide q ^ p-1) (si x = 2, entonces O (x) = 1, que sería el exponente más pequeño (en lugar de p) tal que
q ^ O (x) = 1 (mod x))
Por ejemplo, (primo más grande conocido) ^ (2 ^ 127–1) -1 no es divisible por ningún primo que no sea igual a 2 menor que 2 ^ 127–1 (Nota: tampoco es divisible por 2 ^ 127–1)
Del mismo modo, (primo más grande conocido) ^ (primo más grande conocido) -1 debe tener un primo mayor que el primo más grande conocido en su factorización prima.
Esto da lugar a pruebas de la infinitud de números primos:
Supongamos que, por contradicción, hay muchos primos finitos. Entonces hay un primo más grande p. Deje q <= p ser primo. Entonces q ^ p-1 no es divisible por ningún primo menor que p por *. Además, q ^ p-1 = (q-1) (mod p)! = 0 por el pequeño teorema de Fermat. Contradicción.//
Al dejar que x sea primo en la Actualización 2, obtenemos que 2 ^ (x-1) = 1 (mod x) y entonces p divide x-1. Entonces, x = 1 (mod p). Por lo tanto, cada factor primo de 2 ^ p-1 debe ser congruente con
1 (mod p) .//
Además, si (2 ^ k-1) divide (2 ^ p-1), entonces k divide p observando que de lo contrario habrá un resto en la división larga. Entonces, si 2 ^ k-1 divide 2 ^ 127–1, entonces k divide 127. Entonces, ningún número de la forma 2 ^ k-1 divide 2 ^ 127–1 si 1 <k <127 .//
De las dos últimas pruebas, cada factor primo de 2 ^ (2 ^ 127–1) -1 es congruente con
1 (mod 2 ^ 127–1) y no tiene la forma 2 ^ k-1 para 1 <k <2 ^ 127–1. El último de los cuales no agrega mucha información al primero. (Nota: la inexistencia de factores primos menores que 2 ^ 127–1 está implícita en el primero).