Comenzaré con las malas noticias: No. No hay una prueba simple para determinar si una curva elíptica tiene un número infinito de soluciones racionales. De hecho, ni siquiera hay una prueba simple para determinar si una curva elíptica tiene alguna solución racional [1], y en realidad, no existe una prueba tan conocida, ni simple ni complicada, eso garantiza que funcione .
La mejor noticia es que existen procedimientos que funcionan en la mayoría de los casos, e incluso hay algunas heurísticas realmente simples que funcionan en muchos casos. Pero esos no son algoritmos: no se sabe que produzcan el resultado correcto, y de hecho no se sabe que produzcan ningún resultado (de ahí las malas noticias).
En la práctica, esto es lo que haces:
- Usted busca, a ciegas, una solución racional (que no sea el punto en el infinito o cualquier punto de inflexión que tenga).
- Si no puede encontrar uno, siga buscando.
- Una vez que te hayas dado por vencido, deja de hacerlo; la curva elíptica puede tener puntos racionales, e incluso puede tener infinitos de ellos, pero esta heurística particular te falló.
- De lo contrario, ¡felicidades! Has encontrado un punto racional P.
- Toca acordes y tangentes comenzando con P. De hecho, solo necesitas jugar tangente: agrega P a sí mismo, determinando la tangente a tu curva en P y viendo dónde más toca la curva (Alternativamente, usa las fórmulas conocidas para la ley de adición en una curva elíptica). Ahora tienes Q = -PP = -2P. Repita el proceso con Q para encontrar 2Q = 4P. Sigue adelante.
- Una de dos cosas sucederá. O bien el juego degenera rápidamente en encontrar los mismos puntos una y otra vez, o no lo hace. Si es así, mala suerte: el punto P que has encontrado tiene un orden finito, y tendrás que encontrar otro o convencerte de que no hay otros y que tu curva solo tiene muchos puntos racionales. Pero más típicamente, el juego tangente comenzará a producir fracciones cada vez más complicadas, y pronto tendrás suficientes para concluir que no pertenecen a ningún componente de torsión del grupo de puntos racionales, y has demostrado que allí son infinitos puntos racionales.
De nuevo: esto no es un algoritmo, solo una heurística. Pero en muchos casos funciona bien. Si no puede encontrar una solución racional después de buscar una cantidad de tiempo razonable, generalmente puede concluir que no existe. Si encontraste uno, tendrá un orden infinito a menos que seas realmente desafortunado o tu curva realmente tenga rango 0.
- ¿Cuál es el entero positivo más pequeño que tiene primalidad desconocida?
- ¿Cuál es el número entero menos positivo n para el cual [matemáticas] \ sqrt [3] {n + 1} – \ sqrt [3] {n} <\ frac {1} {12} [/ matemáticas]?
- ¿Es [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {127} -1} -1 [/ matemáticas] primo?
- ¿Estaba claro este problema porque tenía que usar la estimación en serie alterna del resto en lugar de la fórmula de Lagrange para el resto?
- ¿Dónde me equivoqué al calcular el menor residuo no negativo de [matemáticas] 3 ^ {3 ^ {2012}} \ cdot2 ^ {342} (\ mod 5) [/ matemáticas]?
[1] Esta afirmación puede confundirte, ya que una curva elíptica se define como una curva (no singular, proyectiva) del género 1 con un punto racional. Pero este punto racional a menudo no es lo que necesita. Por lo general, las curvas elípticas se dan en forma de Weierstrass [matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b [/ matemáticas], y el punto racional es el punto en el infinito, es decir, la solución proyectiva [matemáticas] [0: 1: 0] [/ matemática] de la forma homogeneizada [matemática] Y ^ Z = X ^ 3 + aXZ ^ 2 + bZ ^ 3 [/ matemática]. La pregunta entonces se convierte en: ¿hay alguna solución racional finita distinta del punto en el infinito ?