Las matemáticas están llenas de cosas fascinantes y el triángulo de Pascal solo agrega otra dimensión a ese hecho. Aunque lo llamamos el triángulo de Pascal, es bastante injusto asociar estrictamente el nombre de Blaise Pascal [1] , ya que el fundador de este maravilloso tesoro matemático, ya que los primeros matemáticos de todo el mundo también trabajaron en esto. Los primeros matemáticos en India lo llamaron La escalera del Monte Meru [2] , en Irán se llamaba El triángulo de Khayyam, y en China se llama El triángulo de Yang Hui [3] . Habiendo dicho eso, tampoco podemos negar el hecho de que Pascal también ha hecho algunas contribuciones significativas a esto.
Ahora que se trata de su importancia y de lo que realmente es, déjame explicarte en términos lo más simples posible.
El triángulo de Pascal no es solo un mero conjunto de números apilados de forma triangular, sino que tiene mucho más que ver con él.
En primer lugar, eche un vistazo a lo que ha estado discutiendo hasta ahora y luego se lo explicaré en detalle.
Así que observe la imagen de arriba de cerca. Esto es lo que hoy conocemos como el triángulo de Pascal.
¿Pero cómo se hace?
Para obtener esta siguiente disposición triangular, comience con [math] 1 [/ math] en la primera fila e imagine dos [math] 0s [/ math] a su lado. Ahora agregue un 0 (que imaginó) y 1 y escriba 1 a continuación y nuevamente agregue otros 0 y 1 y escriba 1 a continuación. Así que ahora en la siguiente fila, debajo de 1 en la primera fila, obtienes 1 1. Ahora imagina nuevamente dos [matemáticas] 0s [/ matemáticas] al lado de dos 1s. Entonces agregue los primeros 0 y 1 y escriba 1 a continuación. Luego agregue 1 y 1, escriba 2 a continuación y finalmente agregue el 0 a la derecha y 1 para escribir 1 a continuación. Sigue haciendo este proceso para cada fila.
#include
usando el espacio de nombres estándar;
int main ()
{
int n, p = 1;
cout << "Este código imprime un triángulo de Pascal:" << endl;
cout << "Cuántas filas:";
cin >> n;
para (int i = 0; i {
para (int j = 1; j <= ni; j ++)
cout << "";
para (int k = 0; k <= i; k ++)
{
si (k == 0 || i == 0)
p = 1;
más
p = p * (i-k + 1) / k;
cout << p << "";
}
cout << endl;
}
}
Vea las imágenes a continuación para comprender el proceso que mencioné en el párrafo anterior.
Y siga haciendo esto con cada fila para obtener la siguiente fila de números.
Así que hemos terminado con el procedimiento de producir esta matriz triangular de números.
Ahora profundicemos un poco y veamos qué están haciendo realmente estos números aquí.
El triángulo de Pascal ayuda a determinar los coeficientes de expansión binomial de [math] (x + y) ^ {n} [/ math], donde n es el número de fila en el triángulo de arriba comenzando desde 0.
Por ejemplo cuando tenemos,
[matemáticas] (x + y) ^ {0} [/ matemáticas] obtenemos la respuesta como [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces, correspondiente a la fila 0 en el triángulo de Pascal, obtenemos el coeficiente como 1.
Ahora cuando tenemos [math] (x + y) ^ {1} [/ math] obtenemos [math] (x + y) [/ math]. Entonces, aquí el coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas] es 1 y el de [matemáticas] y [/ matemáticas] es 1, que corresponde a los valores en la primera fila del triángulo de Pascal.
Ahora tomemos [math] (x + y) ^ {2} [/ math]. Según la segunda fila en el triángulo de Pascal, el coeficiente de la primera variable en la expansión es [matemática] 1 [/ matemática], la de la segunda es 2 y la de la tercera es 1 nuevamente. Entonces obtenemos, [matemáticas] (x + y) ^ {2} = 1 \ cdot x ^ 2 + 2xy + 1 \ cdot y ^ 2 [/ math]
¿Ha notado el patrón aquí según el cual se obtienen las variables en la expansión?
Entonces para
[matemáticas] \ begin {align} (x + y) ^ {n} = \ left (\ text {1er elemento de la enésima fila del triángulo de Pascal} \ right) x ^ {n} + \ left (\ text {2nd elemento de la enésima fila} \ right) x ^ {n-1} y + \ left (\ text {3er elemento de la enésima fila} \ right) x ^ {n-2} y ^ {2} +… + \ left (\ text {último elemento de la enésima fila del triángulo de Pascal} \ right) x ^ {0} y ^ {n} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
De este modo, verá que solo recordando el triángulo puede obtener el resultado de la expansión binomial para cualquier n. (Vea la imagen a continuación para una mejor comprensión).
La próxima vez que alguien le pida que expanda [matemáticas] (x + y) ^ {10} [/ matemáticas] puede hacerlo fácilmente recordando los elementos de la décima fila en el triángulo de Pascal.
Entonces, se despeja un aspecto muy importante del triángulo. ¿Que sigue? ¿Eso es todo lo que tenemos guardado aquí?
La respuesta es un gran ¡No!
Mira cualquier fila del triángulo. Por ejemplo, elijo la fila 2. Los elementos correspondientes son 1 2 1.
Ahora escríbalo como, [math] (1 \ times 100) + (2 \ times 10) + (1 \ times 1) = 121 = 11 ^ {2} [/ math].
¿Puedes oler algo aquí?
Sí, cada fila del triángulo cuando se suma de la manera mencionada anteriormente nos da el valor de [matemáticas] 11 ^ {\ text {esa fila}} [/ matemáticas].
¿No es interesante? Hay más en el casillero. Sigue leyendo.
Si simplemente agrega todos los elementos de cualquier fila de partículas, obtendrá la respuesta como [math] 2 ^ {n} [/ math] donde n es ese número de fila.
Por ejemplo, tome la fila 3, aquí la suma de todos los elementos es [matemática] 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 ^ 3 [/ matemática]. Y sigue para todas las otras filas como se muestra en la figura a continuación.
Tres cosas ya están fuera del sombrero. ¿Que sigue?
Ver que la disposición es simétrica respecto a su eje.
Si sigue sumando los números en el triángulo de la manera que se muestra a continuación, obtendrá la secuencia de Fibonacci [4] .
Próximo.
Mire las diagonales del triángulo (como se muestra en la figura a continuación).
Las dos primeras diagonales comprometen a todos los 1s. Los siguientes dos incluyen todos los números naturales. Ahora observe de cerca desde el tercero.
Los números en la tercera diagonal se llaman números triangulares [5] porque si tomas tantos puntos puedes apilarlos en un triángulo equilátero.
La siguiente diagonal tiene los números tetraédricos [6] porque puedes apilar tantas esferas en un tetraedro.
Y así.
¡Uf! Ya hemos recorrido un largo camino, pero espera un poco más.
Sombrea todos los números impares en el triángulo de esta manera.
Aunque solo he mostrado los primeros números, si continúas sombreando obtendrás algo alucinante. Echar un vistazo.
Se llama el triángulo de Sierpinski [7] y es de gran importancia para el estudio de los fractales.
Y finalmente he terminado.
Estos son solo algunos datos interesantes sobre el triángulo de Pascal que conocía. Sin embargo no está completo. Los matemáticos todavía están buscando una belleza más profunda en este maravilloso tesoro matemático.
¿No es fascinante ver cómo un conjunto sutil de números dispuestos de forma triangular puede tener tanta importancia en el campo de las matemáticas?
Verdaderamente , las matemáticas son sin duda una de las mejores muestras de la creación humana.
Así que sigue disfrutando de este tema, quién sabe que algún día se te ocurrirá algo absolutamente sorprendente sobre este mismo triángulo de Pascal que abrirá un camino completamente nuevo para la humanidad.
Notas al pie
[1] Blaise Pascal – Wikipedia
[2] https://www.google.co.in/url?sa=…
[3] https://www.google.co.in/url?sa=…
[4] https://www.google.co.in/url?sa=…
[5] https://www.google.co.in/url?sa=…
[6] https://www.google.co.in/url?sa=…
[7] https://www.google.co.in/url?sa=…