¿Cómo llega el autor de la línea de ecuación 3 a 4 en esta derivación?

Veamos. Los autores afirman que lo siguiente es cierto:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} a_ {x, 1} y a_ {y, 1} y a_ {z, 1} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 & z_1 & -y_1 \\ -z_1 & 0 & x_1 \\ y_1 & -x_1 & 0 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 & -a_ {z, 1} & a_ {y, 1} \\ a_ {z, 1} y 0 y -a_ {x, 1} \\ -a_ {y, 1} y a_ {x, 1} y 0 \ end {bmatrix} [/ math]

Entonces, ¿cómo llegaron allí? Primero nos fijamos en la primera multiplicación de matrices. Si miramos las matrices, son [matemáticas] 1 x 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 x 3 [/ matemáticas]. Esto significa que el producto es igual a [matemática] 1 x 3 [/ matemática]. De hecho, el producto se ve así:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} -a_ {y, 1} z_1 + a_ {z, 1} y_1 & a_ {x, 1} z_1 – a_ {z, 1} x_1 & -a_ {x, 1} y_1 + a_ {y, 1} x_1 \ end {bmatrix} [/ math]

Ahora vemos que las únicas seis variables que contienen esta matriz son las tres a y las x, y y z. Podemos preguntarnos, ¿existe otra matriz de la misma forma que produzca el mismo producto? ¿Podemos, en lugar de las a, factorizar x, y y z? ¿Cómo será la matriz? La respuesta se puede encontrar simplemente mirando el producto y dándose cuenta de que podemos escribirlo de manera diferente. Por ejemplo, mire el primer artículo en el producto. Si realmente queremos escribir la matriz como una multiplicación con la matriz de posición, entonces también podríamos escribir las columnas como:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 0 \\ a_ {z, 1} \\ -a_ {y, 1} \ end {bmatrix} = -a_ { y, 1} z_1 + a_ {z, 1} y_1 [/ math]

Y así sucesivamente … ¿Capice?

Son simplemente 2 formas alternativas de escribir el mismo producto, puede verificarlo con un cálculo rápido. Se puede hacer porque la matriz original es antisimétrica, por lo que realmente solo tiene 3 componentes diferentes, que son los 3 del vector en el siguiente paso. Entonces es básicamente una regla de conmutación oculta.

El producto de las dos primeras matrículas es una serie de tres productos de puntos, como

a_z Z + a_y Y, etc.

Podemos repartir estos productos de punto, de modo que el vector izquierdo sea [X, Y, Z] y este esté punteado con [0, a_z, a_y]. Es la ley conmutativa en matemáticas que ab = ba, y la estamos usando para transferir X, Y, Z a la derecha.

La derivación no es esa iluminación, ya que el producto cruzado se encuentra para cada uno de los nueve elementos en X × Y en lugar de usar un trimex. En la práctica, C_i, j, k * v_i * w_j = (v × w) _k, donde C_ijk es una matriz de 3 * 3 elementos, todos 0 excepto seis números, (1,2,3) en orden cíclico es 1, y (1,3,2) en orden cíclico es -1.