¿Por qué la fórmula [matemáticas] (n-2) \, 180 ^ \ circ [/ matemáticas] no puede funcionar para encontrar los ángulos interiores de una estrella?

Answer 1

¡La fórmula funciona! Solo tiene que definir sus ángulos internos de la manera correcta. A partir de ahora supondré que su estrella es un pentagrama, con [math] n = 10 [/ math] nodos:

[matemáticas] \ color {ForestGreen} {5 * 36 ^ {\ circ}} + \ color {ForestGreen} {5 * 252 ^ {\ circ}} = 1440 ^ {\ circ} = 8 * 180 ^ {\ circ} = (10-2) 180 ^ {\ circ} = (n-2) 180 ^ {\ circ} [/ math]

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En realidad, prefiero escribir la fórmula de esta manera: [matemáticas] n \ veces 180 ^ {\ circ} – 360 ^ {\ circ} [/ matemáticas]

• Aquí [math] 360 ^ {\ circ} [/ math] representa el hecho de que si este pentagrama fuera una pista de carreras, entonces nuestra rotación neta después de una vuelta sería [math] 360 ^ {\ circ} [/ math] .
• Y el [math] n \ times 180 ^ {\ circ} [/ math] representa el hecho de que … los ángulos internos están introduciendo un ‘error’ adicional no deseado de [math] 180 ^ {\ circ} [/ math] con cada nodo / giro ..

¿Por qué?

Bueno, cuando estoy conduciendo, un giro con un ángulo de [matemáticas] 30 ^ {\ circ} [/ matemáticas] sería un pequeño giro. Y hacer dos giros a la derecha leves consecutivos de [math] 30 ^ {\ circ} [/ math] correspondería a un cambio total en la orientación de [math] 60 ^ {\ circ} [/ math]. Entonces, cuando conduzco, el ángulo es la diferencia de orientación entre la dirección después del giro y antes del giro. Estos se llaman ángulos externos . Con ángulos externos, agregar ángulos es muy intuitivo. (ver: ángulos internos y externos )

Sin embargo, cuando se usan ángulos internos, un ángulo [matemático] 30 ^ {\ circ} [/ matemático] es repentinamente un giro muy agudo. Que al seguir el contorno de un polígono no es tan intuitivo.

Además, un giro en U corresponde a un:

• ángulo interno de [matemáticas] 0 ^ {\ circ} [/ matemáticas] (¡contador intuitivo!)
• ángulo externo de [matemáticas] 180 ^ {\ circ} [/ matemáticas] (¡intuitivo!)

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Debajo de estos ángulos externos (o ‘ángulos de conducción’) se ilustran en una pista de carreras en forma de pentagrama:

Por supuesto, al reorganizar, estos números están de acuerdo:

[matemáticas] \ begin {align} \ color {ForestGreen} {5 * 36 ^ {\ circ} + 5 * 252 ^ {\ circ}} & = (n-2) 180 ^ {\ circ} \\ & = 10 * 180 ^ {\ circ} – 360 ^ {\ circ} \\ & \ leftrightarrow \\ 360 ^ {\ circ} & = 10 * 180 ^ {\ circ} – \ color {ForestGreen} {5 * 36 ^ {\ circ} + 5 * 252 ^ {\ circ}} \\ 360 ^ {\ circ} & = 5 * (180 ^ {\ circ} – \ color {ForestGreen} {36 ^ {\ circ}}) + 5 * ( 180 ^ {\ circ} – \ color {ForestGreen} {252 ^ {\ circ}}) \\ 360 ^ {\ circ} & = 5 * \ color {azul} {144} ^ {\ circ} + 5 * ( – \ color {rojo} {72} ^ {\ circ}) \ end {align} [/ math]

Answer 2

En realidad lo hace.

(n-2) * La fórmula 180 es consecuencia de dos cosas:

1) una suma de ángulos interiores en un triángulo tiene 180 grados en el espacio euclidan (ver Suma de ángulos de un triángulo)

2) El cuadrilátero se puede formar a partir de un triángulo al unir dos triángulos

3) lo mismo es cierto para polígonos de orden superior, etc. => cada lado nuevo agrega un nuevo triángulo con sus 180 grados.

Puedes jugar con esto aquí: http://www.mathopenref.com/commo …

Por lo tanto:

• IA_sum (3 lados) = 180
• AI_sum (4 lados) = 180 + 180
• IA_sum (N lados) = 180 + IA_sum (N-1 lados)

¿Qué hay de las estrellas?

para un pentagrama que se muestra arriba, la suma de los ángulos puntiagudos es de 180 grados. Sin embargo, este es un polígono con 10 vértices, por lo que la suma de todos los ángulos debe ser 8 * 180. ¿Es esto así o no?

Spoiler: si lo es. Se puede ver fácilmente en la ilustración de arriba: esta estrella se descompone en cinco triángulos + polígono de 5 lados en el medio que se pueden triangular fácilmente. Suma de ángulos = 5 * 180 + (5–2) * 180 = 8 * 180.

Tomemos uno más simple primero:

8 vértices, por lo que la simulación de los ángulos interiores debe ser 6 * 180 = 1080

Lo vemos 6 ángulos de 90 grados y dos de 270 grados. La ilustración anterior también muestra claramente que este polígono se puede cortar en 6 triángulos, tal como esperábamos. Por lo tanto, no estamos limitados solo a los polígonos convexos.

De vuelta a nuestra estrella. Asumamos que no es una estrella regular. La triangulación de polígonos de formas extrañas es más difícil, pero felizmente alguna buena alma ( Ben Weitzman) nos ha proporcionado este útil applet:

http://benweitzman.github.io/Com …

Por favor, pruébalo, es muy educativo. Lo he usado para producir la siguiente ilustración:

Lo siento, no soy un gran artista gráfico, pero si miras detenidamente verás que la triangulación produce 8 triángulos, tal como se esperaba. El triangulo no. 8 es un pequeño triángulo verde apenas visible encima de los cuatro grandes verdes.

Es decir, se cumple la fórmula (n-2) * 180. Y ahora a las malas noticias: si esta fuera una estrella regular, podría cortarla en solo cuatro triángulos como se muestra a continuación:

Sin embargo, esto deja cuatro vértices “colgando”, por lo que un triángulo rojo en realidad es un polígono degenerado con 7 vértices, con una suma de ángulos internos de (7–2) * 180. La triangulación completa con 8 triángulos y sin vértices “colgantes” se muestra a continuación:

Obviamente, esto no es una prueba matemática, pero espero que te ayude a comprender mejor de dónde viene la fórmula y lo que realmente significa. 🙂

Por cierto, usé geogebra para producir las dos últimas ilustraciones: GeoGebra

Answer 3

La noción de estrella se puede generalizar de una manera interesante. Vea Star Polygon – de Wolfram MathWorld para una descripción. Romperé el hielo. Mi Látex es tan pobre que no puedo duplicar su noción de elección usando {en lugar de (, así que usaré [matemáticas] S (n, k) [/ matemáticas] para denotar la “estrella” que se llama una clase de estrella polígono. La nomenclatura funciona de la siguiente manera. Numere los vértices de la estrella de 0 a n. Comience la construcción de la estrella uniendo el vértice 0 al vértice I. Esta estrella se llama [matemáticas] S (n, i). [/ matemáticas ] Tenga en cuenta que [math] S (n, i) [/ math] es la misma estrella que [math] S (n, ni). [/ Math]

Aquí están todas las estrellas de 9 puntas:

Estos son tesoros de fuentes de investigación. Por ejemplo, determinemos la suma de los ángulos en el punto de la última estrella, [matemáticas] S (9,4). [/ math] El ángulo subtendido en el centro por los radios rojos es [math] \ dfrac {360} {9} = 40. [/ math] Entonces el ángulo en los puntos de la estrella es [math] 20. [/ matemáticas] Y, bajo y he aquí su suma es 180.

El siguiente es [matemática] S (9,3). [/ Matemática] Esta vez los radios rojos muestran, en el centro, un ángulo que mide 120. Entonces, el ángulo en la punta de la estrella mide 60. (Esto podría haber sido visto de una manera mucho más fácil, pero eso rompería el paso). La suma de los ángulos en los puntos de esta estrella es 540.

Entonces la pregunta está madura para algo u otro. ¿Cuál es la suma de los puntos de polígono estrella [math] S (n, i) [/ math]?

Answer 4

Funciona, siempre que identifique el número de aristas en el polígono adecuadamente.
Para un polígono convexo ordinario, cuando trazas los bordes, efectivamente vas una vez alrededor de su círculo circunscriptor. Al trazar los bordes de un polígono estelar, se da la vuelta al círculo dos veces o más.

Aquí hay una diapositiva ya preparada de una charla que di hace unos años explicando esto (y otros asuntos, como la construcción práctica) para las dos posibles estrellas regulares de siete puntas.

Para la estrella de la izquierda, trazar los siete bordes te lleva a dar la vuelta al círculo dos veces. Por lo tanto, es razonable llamar a esto un polígono de “7/2 lados” o “tres lados y medio”. Esta forma de pensar está respaldada por el hecho de que su ángulo interior claramente se encuentra en algún lugar entre el de los polígonos regulares de 3 y 4 lados (entre 60 y 90 grados).
Contar los lados de la estrella a la derecha te lleva tres veces alrededor del círculo, por lo que este es un polígono de 7/3 lados.
Inserte estos valores en la fórmula y el total de los ángulos interiores de la estrella de la izquierda es:
(3.5 -2) x 180 = 270 grados. Entonces, un ángulo interior = 270 / 3.5 = 77 + 1/7 grados.
y para la estrella de la derecha suma de ángulos = (7/3 – 2) x 180 = 60 grados y un ángulo interior = 60 / (7/3) = 25 + 5/7 grados. Estos son los valores correctos. La fórmula funciona.

Answer 5

La fórmula es válida para polígonos simples. Los polígonos simples encierran una región simplemente conectada. Los polígonos en estrella no son polígonos simples.

Aquí hay un ejemplo de un cuadrilátero no simple. Limita con dos regiones. Parece que sus cuatro ángulos internos son cada uno de aproximadamente 60 °, por lo que la suma del ángulo interno no es 360 ° como debería tener un cuadrilátero simple.

Aquí hay un ejemplo de un polígono no simple con seis vértices. Limita una región, pero no es una región simplemente conectada (tiene un agujero). La suma de los ángulos internos de los tres vértices exteriores es 180 °. La suma de los ángulos internos sombreados de los tres vértices internos es de 900 °. Entonces, la suma total del ángulo interno es 1080 °, no 720 ° como un simple hexágono.

Sin embargo, se puede demostrar que la suma del ángulo interno de una simple [matemática] n [/ matemática] -gon es [matemática] 180 (n-2) [/ matemática] grados.

Answer 6

Funciona Para cualquier polígono, la suma de los ángulos interiores está dada por los ángulos [math] (n-2) \ pi [/ math]. Una estrella tiene [matemáticas] 10 [/ matemáticas] lados. Une todos los vértices y generaremos triángulos [matemáticos] 5 [/ matemáticos] y un cuadrilátero [actualicé mi respuesta de “Cuadrilátero cíclico”] que se puede triangular. [Si no triangulamos mientras calculamos, terminaríamos con la suma de los ángulos de un decágono regular.]

Suma de ángulos de una estrella [matemáticas] = 5 \ veces 180 + (5–2) \ veces 180 [/ matemáticas]

[Triangular significa cuánto tenemos que reducir una figura para convertirla en una figura plana de tres lados]

Por lo tanto, la suma de los ángulos de una estrella [matemáticas] = 8 \ veces 180 [/ matemáticas]

Answer 7

Una estrella con n puntos es un polígono con 2n lados.

La suma de los ángulos interiores de un polígono con n lados es
180 (n – 2) grados,

Y, por lo tanto, para un polígono con 2n lados, la suma es:

180 (2n – 2)
= 360 (n – 1) grados

Ejemplos de ángulos interiores

Answer 8

En geometría euclidiana, la suma de los ángulos de un polígono de n lados es [matemática] \ izquierda (n-2 \ derecha) \ cdot {180} [/ matemática] grados.

Para un polígono regular, puedes encontrar los ángulos interiores dividiéndolo entre n. Esto funciona porque en un polígono regular, todos los ángulos son iguales.

Una estrella no es un polígono regular. Por ejemplo, una estrella de cinco puntas es en realidad un polígono de 10 lados. Los ángulos suman 1440 grados, pero no son todos iguales.

Sin embargo, podemos interpretar una estrella de cinco lados como un polígono con lados “5/2”. Aquí, el 5 es el número de puntos, y el 2 es el “número de veces que da la vuelta”. Usando esto, obtenemos una suma de ángulos de 90 grados. Dividiendo esto entre 5/2, encontramos que el ángulo interior de una estrella regular de cinco puntas es de 36 grados , lo cual es correcto.

Hay dos tipos de estrellas de siete puntas, con 7/2 y 7/3 lados. Usando la fórmula, obtenemos un ángulo interior de 77.143 grados y 25.714 respectivamente.