Cómo encontrar las coordenadas del punto medio de la porción de la línea recta x + y = 2 interceptada por la elipse 3 × 2 + 2y2 = 6

Tratemos de encontrar los puntos donde la línea se encuentra con la elipse. Deje que esos puntos sean [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática] y [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática]. Sustituya [math] y = 2-x [/ math] en la ecuación de elipse. Obtenemos:

[matemáticas] 3x ^ 2 + 2 (2-x) ^ 2 = 6 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 3x ^ 2 + 2 (x ^ 2-4x + 4) = 6 [/ matemáticas]

=> [matemáticas] 5x ^ 2-8x + 2 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] serán las raíces de la ecuación anterior. Podemos comprobar fácilmente que esta ecuación tiene dos raíces reales y distintas. De las propiedades de las ecuaciones cuadráticas, podemos obtener [matemáticas] x_1 + x_2 = \ dfrac {8} {5} [/ matemáticas]

Como [matemáticas] x_1, x_2 [/ matemáticas] se encuentran en la línea dada, [matemáticas] y_1 = 2-x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] y_2 = 2-x_2. [/ Matemáticas] Por lo tanto,

[matemáticas] y_1 + y_2 = 4- (x_1 + x_2) => y_1 + y_2 = 4- \ dfrac {8} {5} = \ dfrac {12} {5} [/ matemáticas]

Sabemos que cuando tenemos dos puntos, el punto medio del segmento de línea que une esos dos puntos es el promedio de las coordenadas correspondientes. Entonces, el punto medio de [matemáticas] (x_1, y_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_2, y_2) [/ matemáticas] es [matemáticas] (\ dfrac {x_1 + x_2} {2}, \ dfrac {y_1 + y_2} {2}) [/ matemáticas]. Sustituir los valores:

Punto medio = [matemáticas] (\ dfrac {\ dfrac {8} {5}} {2}, \ dfrac {\ dfrac {12} {5}} {2}) [/ matemáticas]

=> Punto medio = [matemáticas] (\ dfrac {4} {5}, \ dfrac {6} {5}) [/ matemáticas]

La ecuación de la elipse es x ^ 2/3 + y ^ 2/3 = 1.
Sea M (h, k) las coordenadas del punto medio del acorde x + y = 2.
Ecuación de acorde con punto medio como
M está dado por T = S ‘es decir
(xh) / 2 + (yk) / 3-1 = h ^ 2/2 + k ^ 2 / 3-1
(xh) / 2 + (yk) / 3 = h ^ 2/2 + k ^ 2/3
Compare esto con x + y = 2 obtenemos
h / 2 = k / 3 = (h ^ 2/2 + k ^ 2/3) / 2
h = 2k / 3 y h = 2k / 3 = 2k ^ 2/9 + k ^ 2/3.
Resolviendo para h y k obtenemos
h = 4/5, k = 6/5
Por lo tanto, M (4 / 5,6 / 5) serán las coordenadas del punto medio del acorde x + y = 2 de la elipse dada.
Espero que entiendas bien tu problema ……