[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {x ^ {4n} (1-x) ^ {4n}} {1 + x ^ 2} dx [/ math]
En el caso [matemática] n = 0 [/ matemática], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {1 + x ^ 2} dx = \ arctan (1) = \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]
En general, [math] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {(x * (1-x)) ^ {4n}} {1 + x ^ 2} dx [/ math]
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y en [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas], [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] x * (1-x)) ^ 4 1 [/ matemáticas]. Así
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {(x * (1-x)) ^ {4n}} {1 + x ^ 2} dx <2 ^ {- 4 * n} [/ matemáticas]
como [math] n \ to \ infty [/ math], [math] I_n \ to 0 [/ math] muy rápidamente.
¡Ni siquiera necesitamos el término [math] \ frac {1} {1 + x ^ 2} [/ math]! Hace que el error sea racional, lo cual es genial, pero no milagroso (explicado en la siguiente sección).
Considere [math] \ displaystyle J_n = \ int_0 ^ 1 x ^ {4n} * (1-x) ^ {4n} dx [/ math]
Esta es una beta integral [1]. En particular, es [matemáticas] B (4n + 1,4n + 1) = \ frac {(4n!) ^ 2} {(8n + 1)!} [/ Matemáticas]
Aplicando la aproximación de Stirling, obtenemos [math] J_n \ approx \ sqrt {2 \ pi} 2 ^ {- (8n + 1)} [/ math]
Entonces [matemáticas] \ frac {(J_n * 2 ^ {8n + 1}) ^ 2} {2} \ aprox \ pi [/ matemáticas]
De hecho, converge a [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] muy rápidamente.
Su análisis de errores en los detalles de la pregunta también se deriva de la función Beta (y supongo que así fue como lo hizo).
No estoy tan seguro de que haya una interpretación geométrica clara. Probablemente sí, pero todavía no lo veo.
¿Por qué es importante la forma original entonces?
Bueno, es muy bueno que el “error” sea un número racional. Quizás realmente estés preguntando por qué es un número racional.
Con un poco de álgebra y algo de inducción, puede ver que [matemáticas] \ dfrac {x ^ {4n} (1-x) ^ {4n}} {1 + x ^ 2} = p_n (x) + \ frac {( -4) ^ n} {1 + x ^ 2} [/ math] donde [math] p_n (x) [/ math] es un polinomio con coeficientes enteros.
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ 1 p_n (x) + \ frac {(- 4) ^ n} {1 + x ^ 2} dx = \ int_0 ^ 1 p_n (x) dx + (-4) ^ n \ arctan (1) = \ int_0 ^ 1 p_n (x) dx + (-4) ^ n \ frac {\ pi} {4} [/ math]
[math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 p_n (x) dx [/ math] es racional porque [math] p_n (x) [/ math] es un polinomio con coeficientes enteros. Converge a [math] 0 [/ math] muy rápido porque toda la integral converge a [math] 0 [/ math] muy rápido.
Mi punto es que la integral es interesante porque se usó en una prueba hermosa, pero no es tan especial matemáticamente. Puede crear otras funciones racionales con propiedades similares. Esas funciones racionales tienen, en un nivel muy abstracto, algo especial para ellas, pero eso es demasiado profundo para esta respuesta.
Ejercicio divertido: cree una función racional con propiedades similares para aproximar [math] e [/ math].
Si realmente quieres explorar esta función en particular
Necesitamos considerar que esto puede no ser una forma particularmente “natural” para ganar intuición geométrica sobre la integral.
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {x ^ {4n} (1-x) ^ {4n}} {1 + x ^ 2} \, \ mathrm {d} x [/ math]
[matemáticas] x = \ tan (u), dx = \ seg ^ 2 (u) du [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ dfrac {(\ tan (u)) ^ {4n} (1- \ tan (u)) ^ {4n}} { 1+ \ tan ^ 2 (u)} \ sec ^ 2 (u) du [/ math]
[matemáticas] 1+ \ tan ^ 2 (u) = \ sec ^ 2 (u) [/ matemáticas], por lo que se cancelan
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ dfrac {(\ tan (u)) ^ {4n} (1- \ tan (u)) ^ {4n}} du [/matemáticas]
Este formulario podría ser más conveniente para una mayor exploración.
Otra posibilidad es sustituir [matemáticas] x = iu [/ matemáticas], produciendo
[matemáticas] \ displaystyle I_n = i * \ int_0 ^ {- i} \ dfrac {(u * (i + u)) ^ {4n}} {(1-u) (1 + u)} du [/ math]
Puede haber alguna idea adicional que se tenga en el plano complejo.
Notas al pie
[1] Función Beta – Wikipedia