Creo que al lado izquierdo de la ecuación dada le falta un término [math] ac [/ math]. Si es así, tenemos
[matemáticas] (a + 1) (b + 1) (c + 1) = 1001 [/ matemáticas]
Ninguno de los factores entre corchetes explícitos puede ser [matemática] 1 [/ matemática], porque [matemática] a, b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son positivos. Necesitamos tres factores no triviales de [matemáticas] 1001 [/ matemáticas]. ¿Qué factores tiene? Por inspección, se divide por [matemáticas] 11 [/ matemáticas], dejando [matemáticas] 91 = 7 \ veces 13 [/ matemáticas]. Como [math] 7, 11 [/ math] y [math] 13 [/ math] son primos, no podemos dividirlo de manera diferente; [matemáticas] \ {a, b, c \} = \ {7 – 1, 11 – 1, 13 – 1 \} [/ matemáticas].
[matemáticas] a + b + c = 7 + 11 + 13 – 3 = 28 [/ matemáticas]
Sospecho que la pregunta planteada originalmente no tiene una solución comparablemente ordenada, y en realidad tiene varias. Lo que sigue es una búsqueda rápida de valores pequeños de [math] a [/ math].
Tenga en cuenta que si, por ejemplo, [matemáticas] a [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas], entonces tenemos
[matemáticas] 2 (b + 1) (c + 1) = 1000 + (c + 1) [/ matemáticas]
entonces [matemática] c + 1 [/ matemática] debe dividir [matemática] 1000 [/ matemática] un número impar de veces. Este número impar solo puede ser [matemática] 1, 5, 25 [/ matemática] o [matemática] 125 [/ matemática], correspondiente a [matemática] b = 0 [/ matemática] (no permitido), [matemática] 2, 12 [/ math] o [math] 62 [/ math] respectivamente. Debemos tener [matemáticas] c [/ matemáticas] en [matemáticas] \ {999 [/ matemáticas] (no permitido) [matemáticas], 199, 39, 7 \} [/ matemáticas], dando lugar a soluciones
[matemáticas] \ {a, c \} = \ {1, 199 \} [/ matemáticas], [matemáticas] b = 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ {a, c \} = \ {1, 39 \} [/ matemáticas], [matemáticas] b = 12 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ {a, c \} = \ {1, 7 \} [/ matemáticas], [matemáticas] b = 62 [/ matemáticas]
De hecho, considere una [matemática] a [/ matemática] general:
[matemáticas] (a + 1) (b + 1) (c + 1) = 1001 – a + a (c + 1) [/ matemáticas]
Debemos tener [matemáticas] (c + 1) | (1001 – a) [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + 1) (b + 1) = \ frac {1001 – a} {c + 1} + a [/ matemáticas]
[matemáticas] ab + b + 1 = \ frac {1001 – a} {c + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + 1) b = \ frac {1001 – a} {c + 1} – 1 [/ matemáticas]
Claramente tendremos en general [matemática] c + 1 [/ matemática] un factor propio de [matemática] 1001 – a [/ matemática], entonces [matemática] (a + 1) b + 1 [/ matemática] debe ser igual a factor propio de [math] 1001 – a [/ math], y ese factor debe ser [math] \ equiv 1 (mod (a + 1)) [/ math]
Podemos evitar la duplicación si solo consideramos [math] a \ leq c [/ math]. Esto se traduce en [matemática] (a + 1) b + 1 [/ matemática] que equivale a un factor propio de [matemática] 1001 – a [/ matemática], a saber [matemática] \ frac {1001 – a} {c + 1} \ leq \ frac {1001 – a} {a + 1} = \ frac {1002} {a + 1} – 1 [/ matemática]
A continuación, no me he molestado con esta restricción útil, pero he permitido los casos duplicados como una comprobación.
Pruebe algunos otros valores de [math] a [/ math]:
[matemáticas] a = 2 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 999 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 3) [/ matemáticas]
[matemáticas] 3b + 1 = 37 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] b = 12 [/ matemáticas]
[matemáticas] c + 1 = \ frac {999} {37} = 27 [/ matemáticas]
[matemáticas] a = 3 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 998 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 4) [/ matemáticas]; [matemáticas] 2 499 [/ matemáticas] (sin coincidencias)
[matemáticas] a = 4 [/ matemáticas]; [matemáticas] 997 [/ matemáticas] no tiene factores propios
[matemáticas] a = 5 [/ matemáticas]; de los factores propios de [math] 996 [/ math], queremos esos [math] \ equiv 1 (mod 6) [/ math]. No son múltiplos de [matemática] 2 [/ matemática] o de [matemática] 3 [/ matemática], lo que solo deja [matemática] 83 [/ matemática], que tampoco funciona.
[matemáticas] a = 6 [/ matemáticas]; de los factores propios de [math] 995 [/ math], queremos esos [math] \ equiv 1 (mod 7) [/ math] (no hay ninguno).
[matemáticas] a = 7 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 994 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 8) [/ matemáticas] (solo [matemáticas] 497 [/ matemáticas])
[matemática] 8b + 1 = 497 [/ matemática], entonces [matemática] b = 62 [/ matemática]
[matemáticas] c + 1 = \ frac {994} {497} = 2 [/ matemáticas]
(lo hemos visto antes, por supuesto)
[matemáticas] a = 8 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 993 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 9) [/ matemáticas] (no hay múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas], dejando solo 331, que ganó no)
[matemáticas] a = 9 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 992 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 10) [/ matemáticas] (dejando el único impar, [matemáticas] 31 [/ matemáticas])
[matemáticas] 10b + 1 = 31 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] c + 1 = \ frac {992} {31} = 32 [/ matemáticas]
[matemáticas] a = 10 [/ matemáticas]; [matemáticas] 991 [/ matemáticas] no tiene factores propios.
[matemáticas] a = 11 [/ matemáticas]; de los factores propios de [math] 990 [/ math], queremos esos [math] \ equiv 1 (mod 12) [/ math] (así que no hay múltiplos de [math] 2 [/ math] o de [math] 3 [/ math], dejando [math] 5, 11 [/ math] y [math] 55 [/ math], y sin coincidencias)
[matemáticas] a = 12 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 989 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 13) [/ matemáticas] ([matemáticas] 23 [/ matemáticas] y [matemáticas] 43 [/ matemáticas], sin dejar partidos)
[matemáticas] a = 13 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 988 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 14) [/ matemáticas] (así que no hay factores pares, dejando [matemáticas] 13, 19 [/ matemáticas] y [ matemáticas] 247 [/ matemáticas], sin dejar coincidencias)
[matemáticas] a = 14 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 987 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 15) [/ matemáticas] (sin dejar coincidencias)
[matemáticas] a = 15 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 986 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 16) [/ matemáticas] (dejando [matemáticas] 17, 29 [/ matemáticas] y [matemáticas] 17 \ multiplicado por 29 [/ math], de los cuales solo [math] 17 [/ math] coincide)
[matemática] 16b + 1 = 17 [/ matemática], entonces [matemática] b = 1 [/ matemática]
[matemáticas] c + 1 = \ frac {986} {17} = 58 [/ matemáticas]
[matemáticas] a = 16 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 985 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 17) [/ matemáticas] (sin coincidencias)
[matemáticas] a = 17 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 984 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 18) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o de [matemáticas] 3 [ / math], dejando solo [math] 41 [/ math], sin coincidencias)
[matemáticas] a = 18 [/ matemáticas]; [matemáticas] 983 [/ matemáticas] no tiene factores propios)
[matemáticas] a = 19 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 982 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 20) [/ matemáticas] (no hay múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], dejando solo [matemáticas] 491 [/ math], no coincide)
[matemáticas] a = 20 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 981 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 21) [/ matemáticas] (no hay múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas], dejando solo [matemáticas] 109 [/ math], no coincide)
[matemáticas] a = 21 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 980 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 22) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], dejando solo [matemáticas] 5 , 7, 35, 49, 245 [/ matemáticas], no coinciden)
[matemáticas] a = 22 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 979 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 23) [/ matemáticas] ([matemáticas] 11, 89 [/ matemáticas], no coinciden)
[matemáticas] a = 23 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 978 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 24) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o de [matemáticas] 3 [ / math], dejando solo [math] 163 [/ math], no una coincidencia)
[matemáticas] a = 24 [/ matemáticas]; [matemáticas] 977 [/ matemáticas] no tiene factores propios
[matemáticas] a = 25 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 976 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 26) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], dejando solo [matemáticas] 61 [/ math], no coincide)
[matemáticas] a = 26 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 975 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 27) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 3 [/ matemáticas], dejando solo [matemáticas] 5 , 13,25,65,325 [/ math], donde solo [math] 325 [/ math] coincide)
[matemática] 27b + 1 = 325 [/ matemática], entonces [matemática] b = 12 [/ matemática]
[matemáticas] c + 1 = \ frac {975} {325} = 3 [/ matemáticas]
(otro que hemos visto antes)
[matemáticas] a = 27 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 974 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 28) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], dejando solo [matemáticas] 487 [/ math], que no coincide
[matemáticas] a = 28 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 973 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 29) [/ matemáticas] ([matemáticas] 7 [/ matemáticas] y [matemáticas] 139 [/ matemáticas], No hay coincidencias)
[matemáticas] a = 29 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 972 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 30) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o de [matemáticas] 3 [ / matemáticas], sin dejar ningún otro factor apropiado en absoluto)
[matemáticas] a = 30 [/ matemáticas]; [matemáticas] 971 [/ matemáticas] no tiene factores propios
[matemáticas] a = 31 [/ matemáticas]; de los factores propios de [matemáticas] 970 [/ matemáticas], queremos esos [matemáticas] \ equiv 1 (mod 32) [/ matemáticas] (sin múltiplos de [matemáticas] 2 [/ matemáticas], dejando [matemáticas] 5, 97 [/ math] y [math] 485 [/ math], de los cuales solo [math] 97 [/ math] coincide)
[matemáticas] 32b + 1 = 97 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas]
[matemática] c + 1 = \ frac {970} {97} = 10 [/ matemática] (otra que hemos visto antes).
De todos modos, eso es suficiente para tener la idea.
Aquí hay algunos pensamientos inactivos hacia un conjunto diferente de restricciones en [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas].
Si [math] ac [/ math] es par, el lado derecho es impar, por lo que los factores de la izquierda son todos impares, incluidos [math] b + 1 [/ math]; [math] [/ math] en en particular, [matemática] a [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] deben ser pares.
Si [math] ac [/ math] es impar, [math] a [/ math] y [math] c [/ math] son impares, y el lado izquierdo se divide por [math] 4 [/ math]. [math] ac [/ math] debe ser [math] \ equiv 3 (\ mod 4) [/ math]
Continúe por el momento considerando [math] ac [/ math] impar.
Debemos tener [math] a [/ math] y [math] c [/ math] en diferentes clases de residuos impares; [matemáticas] (a + 1) (c + 1) [/ matemáticas] debe ser un múltiplo de [matemáticas] 8 [/ matemáticas]. Claramente [math] ac \ equiv 7 (\ mod 8) [/ math]
Terminamos con [matemáticas] a + c \ equiv 0 (\ mod 8) [/ matemáticas]
Los restos [matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] 5 [/ matemática] nos restringen a no tener un múltiplo de [matemática] 16 [/ matemática]; [math] 9 + ac [/ math] no debe ser [math] \ equiv 0 (\ mod 16) [/ math], entonces [math] ac \ equiv 15 (\ mod 16) [/ math]. Esto no es muy útil; ya podemos decir esto!
Los restos [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 7 [/ matemática] nos obligan a tener un múltiplo de [matemática] 16 [/ matemática]; [matemáticas] ac \ equiv 7 (\ mod 16) [/ matemáticas]. De nuevo, esto no nos da nada nuevo.