¿Cuál es una manera simple de mostrar que los métodos Runge-Kutta no son simplécticos?

Un mapa simpléctico es un mapa [matemática] F: M \ a N [/ matemática] (donde [matemática] M [/ matemática] y [matemática] N [/ matemática] son ​​múltiples de dimensión [matemática] 2n [/ matemática] ) que conserva el área de una manera especial. En particular, si consideramos la [matemática] jacobiana D_z F [/ matemática], donde [matemática] z \ en M [/ matemática], [matemática] F [/ matemática] es simpléctica si y solo si

[matemáticas] (D_z F ^ T) J (D_z F) = J [/ matemáticas],

dónde

[matemáticas] J = \ begin {pmatrix} 0_n & I_n \\ -I_n & 0_n \ end {pmatrix} [/ math],

con [math] 0_n [/ math] y [math] I_n [/ math] respectivamente las matrices [math] n \ times n [/ math] zero y de identidad.

Si puede calcular el método jacobiano del método Runge-Kutta que le interesa, puede demostrar que no es simpléctico. Sin embargo, puede interesarle observar que existen métodos RK simplécticos, pero todos están implícitos . Por lo tanto, al menos podría mostrar que no existe un método RK simpléctico explícito .

Estoy totalmente de acuerdo con Danya Rose!

¡Al calcular Jacobian del método RK, podemos demostrar que no es simpléctico!