¿Por qué [math] (-1) ^ {\ frac13} = – 1 [/ math]?

Answer 1

La solución simple es observar que [matemáticas] -1 = (-1) ^ 3 [/ matemáticas] y conectarlo a la ecuación original.

[matemáticas] (- 1) ^ {1/3} = ((-1) ^ 3) ^ {1/3} = (-1) ^ {3 \ cdot 1/3} = (-1) ^ 1 = -1 [/ matemáticas]

Si está familiarizado con los números complejos también hay una interpretación geométrica. Usando la forma polar compleja [math] re ^ {i \ theta} [/ math] vemos que [math] -1 = e ^ {i \ pi} [/ math] tiene r = 1 y [math] \ theta [ / math] = 180 grados (o [math] \ pi [/ math] radianes).

Entonces, ¿qué rotación, aplicada 3 veces (eso es lo que hace el cubo), da como resultado una rotación de 180 grados? Resulta que 180 grados da una solución: 180 * 3 = 540 = 180 mod 360.

Este enfoque puede generalizarse: tomar una enésima raíz de un número complejo dividirá el argumento (ángulo) entre n y enraizará el módulo (magnitud) entre n.

[matemáticas] (re ^ {i \ theta}) ^ {1 / n} = r ^ {1 / n} e ^ {i \ theta / n} [/ math]

En el caso especial donde r = 1 raíces y potencias son simplemente rotaciones alrededor del círculo unitario (puntos con | z | = 1).

Answer 2

¿Qué es x ^ (1/3) = y,
significa cuál debería ser el valor de y que cuando se eleva a la potencia 3 produce el resultado x.

como x es entero, y también debe pertenecer a entero. Como la potencia de cualquier número con valor decimal real nunca dará un número entero. 0.5 ^ 3 = 1.25

entre todos y pertenece a entero, | y | <2, porque la potencia de todos | y |> = 2 no producirá 1 o -1.
Además, y no podría ser 0 ya que la potencia será 0.

Nos quedan dos opciones ahora, y = 1 e y = -1.
Como 1 ^ 3 = 1 (y no -1)
Entonces la respuesta sería y = -1.

Answer 3

A2A: Normalmente, esa notación se toma para indicar de manera única la raíz del cubo principal de un número, que, en este caso, es -1. Es decir, para interpretar la notación, la existencia de las otras 2 raíces cúbicas de -1 (que resultan ser complejas) es realmente irrelevante. Para obtener más información sobre el concepto de una raíz principal [matemáticas] n [/ matemáticas], lea sobre esto en la raíz n – Wikipedia.

Answer 4

En general, [matemática] a ^ {\ frac 1 n} = b [/ matemática] significa que [matemática] b ^ n = a. [/ Matemática] Dado que [matemática] (- 1) ^ 3 = -1, [/ matemática] es por eso que [matemática] (- 1) ^ {\ frac 1 3} = -1. [/ matemática] Pero en general estas potencias fraccionarias son de valores múltiples.

[math] -1 [/ math] es solo una de las raíces cúbicas de [math] -1. [/ math] Es la única real, pero hay tres. En general, hay raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] n [/ matemáticas] de cualquier número complejo.

La manera fácil de hacer esto es obtener el signo menos de la Identidad de Euler [matemáticas] e ^ {i \ pi} = – 1 [/ matemáticas] y manejar los valores múltiples elevando la Identidad de Euler a [matemáticas] 2k [/ matemáticas ] potencia para entero [matemáticas] k [/ matemáticas]: [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac 1 3} = (e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 3} = e ^ {i \ pi (1 + 2k ) / 3} = \ cos (\ pi (1 + 2k) / 3) + i \ sin (\ pi (1 + 2k) / 3) [/ math]

[matemática] k = 1 [/ matemática] da [matemática] \ cos \ pi + i \ sin \ pi = -1, [/ matemática] la única respuesta real.

[matemática] k = 0 [/ matemática] da [matemática] \ cos (\ pi / 3) + i \ sin (\ pi / 3) = \ frac 1 2 (1 + i \ sqrt {3}) [/ matemática ]

[matemática] k = -1 [/ matemática] da [matemática] \ cos (- \ pi / 3) + i \ sin (- \ pi / 3) = \ frac 1 2 (1 – i \ sqrt {3}) [/matemáticas]

Cualquier otro valor entero de [math] k [/ math] simplemente repite uno de estos tres.

Comprobación: [matemáticas] (\ frac 1 2 (1 + i \ sqrt {3})) ^ 3 = \ frac 1 8 (1 + i \ sqrt {3}) (- 2 + 2i \ sqrt {3}) = \ frac 1 8 (-2 -6 -2i \ sqrt {3} + 2i \ sqrt {3}) = -1 \ quad \ marca de verificación [/ math]

Te dejaré que revises el otro; Funciona también.

Answer 5

[matemáticas] -1 ^ [/ matemáticas] 1/3 se puede representar como la raíz cúbica de -1, que es -1

Para cualquier exponente fraccionario, el denominador es el índice del radical, mientras que el numerador es el exponente del radicando (expresión dentro del radical)

Por ejemplo, [matemáticas] 4 ^ [/ matemáticas] (1/2) [matemáticas] = √4 ^ 1 = 2 [/ matemáticas]

o [matemática] 8 ^ [/ matemática] (2/3) [matemática] = [/ matemática] raíz cúbica de [matemática] 8 ^ 2 = [/ matemática] raíz cúbica de 64, que es 4

Answer 6

Si [math] \ sqrt [3] {- 1} = x [/ math] , donde [math] x \ in \ R [/ math], entonces [math] x = -1 [/ math].

Necesidad:

Al establecer [matemáticas] x = -1 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] x ^ 3 = (- 1) ^ 3 = (-1) \ veces (-1) \ veces (-1) = 1 \ veces (-1) = – 1 [/ matemáticas].

Suficiencia:

Supongamos que hay otra solución distinta de [matemáticas] -1 [/ matemáticas]:

[math] \ sqrt [3] {- 1} = x, [/ math] donde [math] x \ neq-1 [/ math].

Calculando la diferencia entre dos soluciones, a saber [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] -1 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] x – (- 1) = \ sqrt [3] {- 1} – \ sqrt [3] {- 1} = 0 => x – (- 1) = 0 => x = -1 [/ matemáticas ]

Llegamos a una contradicción, ya que supusimos que [math] x [/ math] era distinto de [math] -1 [/ math].

Por lo tanto, [matemática] -1 [/ matemática] es la única solución válida en [matemática] \ R [/ matemática] (el conjunto de todos los números reales). [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Nota: hay muchas otras soluciones periódicas en [math] \ C [/ math] (el conjunto de todos los números complejos).

Answer 7

se puede escribir como raíz cúbica de -1 = x

=> -1 = x ^ 3

Ahora si pones x = -1 obtendrás rhs = -1 (Ie -1 × -1 × -1)

Por lo tanto, l.hs = r.hs, entonces la raíz cúbica de -1 = -1

Answer 8

Por favor, eche un vistazo a mi sitio web llamado …

http://knowingisnotunderstanding.weebly.com

y desplácese hasta el elemento 22 VALORES PRINCIPALES DE ÍNDICES

También vea este VIDEO http://screencast.com/t/iBwFfvzM8

Answer 9

Bueno, contiene menos matemáticas y un poco de participación del sentido común (en realidad, se necesitan matemáticas xD) …

En primer lugar (-1) ^ 1/3 significa raíz cúbica de -1 (no sé qué escribir para que aparezca un símbolo raíz en mi respuesta).

raíz cúbica significa ‘que si tomamos un número, tomemos 8 … y luego no. se multiplica por sí mismo 3 veces, por lo que da como resultado 8. Y probablemente adivinarías 2 ‘(¡voila! acertaste). Entonces, 2 es la raíz cúbica de 8 .

NOTA – Si el número cuya raíz cúbica se va a encontrar es negativo (-), ¡entonces su raíz cúbica consistiría también en signo negativo!

Entonces, ya sabes, la raíz cúbica de -8 es -2 (como -2 * -2 * -2 = -8) …

de manera similar -1 * -1 * -1 = -1 … así que si decimos en lenguaje estándar, qué número se multiplicará 3 veces para que dé -1 como respuesta, por lo tanto, usando la nota escrita anteriormente, podemos concluir que es -1 es la raíz cúbica de -1 en sí!
!! SIGUE PEDIENDO !! SIGUE RESPONDIENDO !!

Answer 10

Solución:

[matemáticas] (- 1) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt [3] {(-1) ^ {1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt [3] {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 1. [/matemáticas]

Answer 11

(-1) ^ 1/3 = -1

Porque

-1 se puede escribir como (-1) × (-1) × (-1)

Eso se puede escribir como (-1) ^ 3

(-1) ^ 1/3 = {(- 1) ^ 3} ^ 1/3 = -1. (Dado que (a ^ n) ^ m = a ^ mn)

Answer 12

Éste me gusta mucho.

Entonces, el exponente de 1/3 básicamente pregunta “¿qué puedes multiplicar tres veces para obtener (-1)?

Es una raíz en cubos, como la raíz cuadrada, ¡pero esta vez hay tres! La raíz cuadrada de -1 ((-1) ^ 1/2) no existe (o técnicamente está clasificada como imaginaria, pero podemos ignorar eso) básicamente, no hay nada que puedas multiplicar por sí mismo para obtener -1

• -1 x -1 = 1 (los negativos se cancelan en la multiplicación)
• 1 x 1 = 1 (que no es -1)
• nada más se multiplica por sí mismo para igualar

Pero, puedes multiplicar -1 tres veces para obtener -1

• -1 x -1 x -1 = -1 = (-1) ^ 1/3 los negativos se cancelan, dejando uno negativo

Espero que esto ayude

Answer 13

-1 a la potencia -1/3 es lo mismo que la raíz cúbica de -1 (desearía tener un teclado que pudiera mostrar los símbolos pero estoy seguro de que lo conseguimos.

La raíz cúbica de -1 es la misma que -1 x -1 x -1, que es igual a, por supuesto, -1

Answer 14

Deje (-1) ^ (1/3) = x

Ahora haz el cubo en ambos lados:

(-1) = x ^ 3

Ahora pon x = -1

Por lo tanto x ^ 3 = (-1) (- 1) (- 1) = -1

Por lo tanto demostrado.

Answer 15

Para encontrar el número elevado a 1/3 de potencia, necesitas encontrar la raíz cúbica del mismo. Entonces, la pregunta es qué número cubica para obtener 1. Ese número es -1.

Answer 16

¡Porque -1 en cubos es -1!