¿Por qué [matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

Muchas de estas respuestas se han basado en la definición más simple pero defectuosa de exponenciación como multiplicación repetida. Digo “defectuoso” porque [matemáticas] \ pi ^ \ pi [/ matemáticas] es un número perfectamente significativo (un poco más de 36.46), pero no es significativo multiplicar un número irracional de veces.

Las respuestas que se basan en reglas de exponente ([matemáticas] x ^ p \ veces x ^ q = x ^ {p + q} [/ matemáticas]), mientras tanto, no explique inmediatamente el problema con [matemáticas] 0 ^ 0 [ / matemáticas], y también tienden a referirse de nuevo a la noción de “multiplicación repetida”.

La respuesta avanzada a esta pregunta es que [matemática] f (x) = k ^ x [/ matemática] representa una función. En valores enteros positivos de x, los valores para esta función son idénticos al valor de multiplicar x instancias de k (es decir, [matemáticas] f (3) = k ^ 3 = k \ veces k \ veces k [/ matemáticas]). Los matemáticos luego preguntaron si esta función podría evaluarse para valores que no fueran enteros positivos, y desarrollaron reglas para hacerlo.

Si k es otra cosa que 0, descubrieron, [matemática] f (0) = 1 [/ matemática]. Graficando f (x) sin problemas para cualquier k excepto 0, la función siempre pasa por el punto (0, 1). (Para k negativo, necesitamos el plano complejo, que es un asunto separado, pero la función sigue siendo continua).

El problema es con [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas]. Para todos los valores de x mayores que 0, [matemática] 0 ^ x = 0 [/ matemática]. Eso parecería implicar que [math] f (0) = 0 [/ math] también. Pero eso lleva a un problema separado: creemos una función para el valor de f (0) a medida que k cambia, es decir, [matemática] g (k) = k ^ 0 [/ matemática]. Entonces [math] g (k) = 1 [/ math] para todos los valores EXCEPTO 0, donde es igual a 0.

Eso deja a los matemáticos con algunas opciones:

1. Defina [math] k ^ 0 = 1 [/ math] para todos los valores de k, incluido 0, y evite el problema de f (0).
2. Defina [matemática] 0 ^ x = 0 [/ matemática] para todos los valores no negativos de x, incluido 0, y evite el problema de g (0).
3. Declare que [math] 0 ^ 0 [/ math] es indeterminado.

La mayoría de las veces, los matemáticos simplemente toman la tercera ruta y la dejan así. Puede haber contextos en los que es matemáticamente más conveniente tomar la primera o segunda ruta.

Tenga en cuenta que hay una distinción clave entre “indeterminado” e “indefinido” en matemáticas. “Indeterminado” significa que una expresión particular (en este caso, [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática]) tiene valores diferentes dependiendo de la función utilizada para generarla. “Indefinido” (como [math] 1/0 [/ math]) significa que una expresión particular no tiene ningún valor válido bajo las reglas matemáticas que se utilizan. Dado que [matemática] 1/0 = 0 ^ x [/ matemática] cuando x es negativa, [matemática] 0 ^ x = 0 [/ matemática] para valores positivos, es indeterminada para 0 y no está definida para valores negativos. Si está familiarizado con los límites, esta es otra razón para evitar definir [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] como un valor específico.

Answer 2

La respuesta correcta es que [matemática] 2 ^ 0 = 1 [/ matemática] por definición, pero ¿por qué es una buena definición?

Mira esta secuencia de cálculos

[matemáticas] 2 ^ 3 = 1 \ veces 2 \ veces 2 \ veces 2 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 = 1 \ veces 2 \ veces 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 1 = 1 \ veces 2 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 0 = 1 = 1 [/ matemáticas]

Esto forma una progresión válida porque en cada paso se elimina una instancia de “[math] \ times 2 [/ math]”.

Al principio parece extraño poner el factor uno al comienzo del producto, pero aclara cómo la secuencia continúa hasta el término final. La secuencia no sería correcta si se usara un número distinto de uno de esta manera, por lo que no es arbitrario. Eso también es cierto para las potencias de cualquier otro número que no sea dos, excepto [math] 0 [/ math]. En ese caso podrías hacer lo mismo

[matemáticas] 0 ^ 3 = 1 \ veces 0 \ veces 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 2 = 1 \ veces 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 1 = 1 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 0 = 1 = 1 [/ matemáticas]

Pero los primeros tres términos también serían correctos si escribieras

[matemáticas] 0 ^ 3 = 6 \ veces 0 \ veces 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 2 = 6 \ veces 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 1 = 6 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 0 = 6 = 6 [/ matemáticas]

Entonces puede argumentar tan fácilmente que [matemática] 0 ^ 0 = 6 [/ matemática] como puede que [matemática] 0 ^ 0 = 1 [/ matemática] y esto solo es cierto para potencias de cero. Esto nos da la regla de que

[matemática] x ^ 0 = 1 [/ matemática], a menos que [matemática] x = 0 [/ matemática] en cuyo caso [matemática] x ^ 0 = 0 ^ 0 [/ matemática] es indeterminada.

Answer 3

Con [math] \ color {blue} {\ text {zero}} [/ math] partidos ganados, eres lo mejor de ti mismo: [math] 2 ^ {\ color {blue} {0}} = 1 [ /matemáticas].

En 1996, Richard Krajicek ganó Wimbledon, convirtiéndose en el mejor de [matemática] 2 ^ {\ color {blue} {7}} = 128 [/ matemática] tenistas (incluido él mismo). Tenía que ganar los partidos [math] \ color {blue} {\ text {seven}} [/ math], para lograr este objetivo.

Él solo comenzó a creer en una posible victoria, después de vencer al ex campeón de Wimbledon Michael Stich en la ronda [matemáticas] \ color {azul} {\ text {cuarto}} [/ matemáticas], que lo convirtió en el mejor de las [matemáticas] ^ {\ color {blue} {4}} = 16 [/ math] jugadores en su parte del calendario:

Pero antes del torneo, con [math] \ color {blue} {\ messagesf {zero}} [/ math] partidos ganados, estaba solo ([math] 2 ^ {\ color {blue} {0}} = 1 [/ matemáticas]), incluso dudando de competir en Wimbledon, ya que en los dos años anteriores perdió todos sus partidos en el césped …

Answer 4

Presentaré una explicación muy simple basada en las leyes de los índices.

Aquí va,

[matemáticas] \ grande 2 ^ {0} = 2 ^ {1–1} [/ matemáticas]

[math] \ large \ implica 2 ^ {0} = (2 ^ {1}). (2 ^ {- 1}) [/ math]

[matemática] \ grande \ implica 2 ^ {0} = \ frac {(2 ^ {1})} {(2 ^ {1})} [/ matemática]

[matemática] \ grande \ implica 2 ^ {0} = \ frac {2} {2} [/ matemática]

[matemáticas] \ grande \ implica 2 ^ {0} = 1 [/ matemáticas]

QED 🙂

Answer 5

Deje que [matemática] 2 ^ 0 [/ matemática] sea igual a [matemática] x [/ matemática]

[matemáticas] 2 ^ 0 = x [/ matemáticas]

Tomando el logaritmo de ambos lados

[matemática] 0log [/ matemática] [matemática] 2 [/ matemática] [matemática] = log x [/ matemática]

[matemáticas] log x = 0 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] 0 = log 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] log x = log 1 [/ matemáticas]

Antilog de ambos lados

[matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]

¡Pero! Si se niega a aceptar logaritmos y sus propiedades o simplemente no lo sabe, aquí hay una demostración más simple:

Que haya un número

[matemáticas] n ^ a * n ^ b [/ matemáticas]

Ahora, por ley de exponentes

[matemáticas] n ^ {a + b} = n ^ a * n ^ b [/ matemáticas]

Mantener [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ {a + 0} = n ^ a * n ^ 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ a = n ^ a * n ^ 0 [/ matemáticas]

[matemática] 1 = n ^ 0 [/ matemática] (Siempre que [matemática] n [/ matemática] no sea igual a 0.)

PD : estos métodos se pueden usar para probar cualquier número de potencia 0 igual a 1

¡Disfruta de las matemáticas!

Answer 6

¿Cuál es el producto de nada en absoluto?

Veamos si podemos dar sentido a la pregunta y determinar la respuesta más sensata. Como se ha señalado en otras respuestas, esto es solo una convención de notación, pero puede parecer más razonable cuando se coloca en un entorno un poco más general.

Hagamos sumas primero.

Supongamos que le piden la cantidad total de goles marcados por el equipo de fútbol de su hija esta temporada. ¿Cómo respondes a eso? Con suerte, has mantenido una lista de los partidos y los puntajes, encuentras el puntaje del equipo en cada juego y los sumas. Sencillo.

Ahora supongamos que la pregunta se refina a “cuántos goles se marcaron en los juegos que tuvieron lugar en abril”. ¿Qué haces ahora? Por supuesto, encuentra los juegos que se jugaron en abril, suma el número de goles y tiene su respuesta.

Pero, ¿y si no se jugaran en abril?

Ahora está tratando de determinar la “suma de la cantidad de goles” en una lista vacía de juegos. No hay juegos para contar, ¿cuál es la respuesta? ¿Diría que es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]? ¿O [matemáticas] -1 [/ matemáticas]? O “NaN”?

La mayoría de la gente estaría de acuerdo en que la respuesta debería ser [matemáticas] 0 [/ matemáticas], y hay muy buenas razones para hacerlo. Por ejemplo, si la temporada es de cuatro meses (enero – abril), entonces el número total de goles marcados sería el número de goles en enero, más el número de goles en febrero, más marzo, más abril, y esto funciona exactamente correcto si aceptamos usar una cuenta de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] durante meses que no tuvieron juegos.

En notación matemática, la expresión

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i \ en X} a_i [/ ​​matemáticas]

significa la suma de los números [math] a_i [/ ​​math] para todos los valores de [math] i [/ math] que pertenecen al conjunto [math] X [/ math]. Por ejemplo, si [math] X = \ {2, 3, 7 \} [/ math] entonces la suma es [math] a_2 + a_3 + a_7 [/ math]. Y si [math] X [/ math] está vacío, declaramos que la suma es [math] 0 [/ math]. Sumar sin números en todos los rendimientos [matemática] 0 [/ matemática].

[math] \ displaystyle \ sum_ {i \ in X} a_i = 0 \ text {si $ X $ está vacío.} [/ math]

---

La gente rara vez encuentra esto controvertido, pero por alguna razón se vuelve más difícil cuando cambia a productos. Intentemos aplicar exactamente la misma lógica aquí. Suponga que está tratando de calcular el producto de algunos números, por cualquier razón. Incluso sigamos con el ejemplo de “goles marcados”, a pesar de que tiene poco sentido económico o físico multiplicar puntajes como ese.

Una vez más, miras la lista de juegos, encuentras los puntajes y los multiplicas. Y una vez más, si se le pide que solo mire abril, encontrará los juegos en abril y multiplique esos puntajes juntos.

Pero, ¿y si no hay juegos en abril?

¿Diría que la respuesta es [matemáticas] 0 [/ matemáticas]? Ciertamente podría, pero esto tendría un efecto muy extraño: el producto total ya no es el producto de los meses individuales. Funciona bien si cada mes tiene al menos un juego, pero si por alguna razón no se jugaron juegos en abril, entonces “producto total” será muy diferente de “producto en cada mes, multiplicado juntos”.

(Por supuesto, si el equipo no anotó nada en ningún juego durante la temporada, la respuesta saldrá [matemática] 0 [/ matemática] de todos modos, pero digamos que el equipo es increíble y anotó al menos una vez en cada juego. Ahora el producto durante la temporada es un número positivo, pero tratar April como [math] 0 [/ math] arruina el cálculo).

Y no queremos eso. Queremos que el producto funcione sin importar cómo lo descomponga. Es algo muy útil, ya que nos permite hacer cálculos en cualquier orden y agrupación que nos guste.

En pocas palabras, queremos

[matemáticas] 2 \ veces 3 \ veces 5 \ veces 7 [/ matemáticas]

ser lo mismo que

[matemáticas] (2 \ veces 3) \ veces (5 \ veces 7) [/ matemáticas]

y lo mismo que

[matemáticas] (2 \ veces 3 \ veces 5) \ veces (7) [/ matemáticas]

y también lo mismo que

[matemáticas] (2 \ veces 3 \ veces 5 \ veces 7) \ veces () [/ matemáticas]

¿Ves esa cosa vacía al final allí? Son paréntesis sin nada dentro: un “producto vacío”. Y para que funcione, tenemos que hacer que los productos vacíos sean iguales a uno , no a cero, ni nada más. Es la misma lógica que “no agregar cosas es [matemática] 0 [/ matemática]”. Multiplicar nada en absoluto debería ser igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] .

[math] \ displaystyle \ prod_ {i \ in X} a_i = 1 \ text {si $ X $ está vacío.} [/ math]

---

Si desea codificar (o programar, como solían llamarlo las personas de mi edad), puede reconocer este razonamiento cuando escribe un bucle simple para escanear los elementos de una matriz y multiplicarlos. Más razonablemente, harías algo como

prod = 1
para a en A:
prod = prod * a
producto de retorno

Tenga en cuenta que debe inicializar la variable prod para que sea 1. Si la inicializa a 0, siempre obtendrá 0 al final del ciclo, que no es lo que desea.

Por lo tanto, si la matriz A está vacía, el resultado que devuelve es 1. El mismo razonamiento.

---

Ahora, finalmente, podemos volver a la pregunta original, sobre [matemáticas] 2 ^ 0 [/ matemáticas]. Cuando [math] n [/ math] es un número entero positivo, [math] 2 ^ n [/ math] significa, muy simplemente, el producto de [math] n [/ math] 2’s. [math] 2 \ times 2 \ times \ ldots \ times 2 [/ math], con los términos [math] n [/ math].

Entonces,

[matemáticas] 2 ^ 3 = 2 \ veces 2 \ veces 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 = 2 \ veces 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 1 = 2 [/ matemáticas]

[matemática] 2 ^ 0 = [/ matemática] el producto de nada en absoluto [matemática] = 1 [/ matemática], como acabamos de acordar.

Esa es solo una forma útil de verlo: elevar un número a la potencia [matemática] 0 [/ matemática] es como no multiplicar nada, y multiplicar nada en absoluto se considera convenientemente como [matemática] 1 [ / matemática], por lo que podemos decir cosas como “la probabilidad total es la probabilidad de los eventos negros por la probabilidad de los eventos blancos”, y nos sentimos seguros sabiendo que esto funcionará incluso si no hay eventos blancos, o No hay eventos negros.

Answer 7

Explicaré esto lo más claramente posible.

¡Esta idea no solo es cierta para 2 ^ 0, por supuesto!

Podríamos tener 3 ^ 0, 19 ^ 0, 153 ^ 0 y todos equivalen a 1

Por esta razón, usaré una “b” para representar cualquier número (que no sea 0)

¡Así es básicamente cómo procedería a explicarle a una persona por qué [matemáticas] b ^ 0 = 1 [/ matemáticas] en lugar de tratar de engañar a la persona con matemáticas más altas !:

Lo sabemos:

• [matemáticas] b ^ 3 [/ matemáticas] significa [matemáticas] b \ veces b \ veces b [/ matemáticas]
• [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] significa [matemáticas] b \ veces b [/ matemáticas]
• [matemáticas] b ^ 1 [/ matemáticas] significa [matemáticas] b [/ matemáticas]

pero [matemáticas] b ^ 0 [/ matemáticas] no parece tener ningún sentido!

Entonces, usando lo que SÍ sabemos y ya entendemos:

[matemáticas] b ^ 3 \ veces b ^ 2 [/ matemáticas] significa [matemáticas] b \ veces b \ veces b \ veces b \ veces b = b ^ 5 [/ matemáticas].

Entonces vemos que no necesitamos escribir todos los [math] b [/ math] ‘s. Podríamos generalizar y poner [matemáticas] b ^ {17} \ veces b ^ {13} = b ^ {17 + 13} = b ^ {30} [/ matemáticas] y así

[matemáticas] b ^ n \ veces b ^ p = b ^ {(n + p)} [/ matemáticas]

(¡Pero debemos recordar esta idea , no la “fórmula” anterior!)

Similar,

[matemáticas] \ dfrac {b ^ 5} {b ^ 3} = \ dfrac {b \ times b \ times b \ times b \ times b} {b \ times b \ times b} = b ^ 2 [/ math]

También podemos generalizar aquí para que [matemáticas] \ frac {b ^ {18}} {b ^ {14}} = b ^ {18–14} = b ^ 4 [/ matemáticas] y así

[matemáticas] \ dfrac {b ^ n} {b ^ p} = b ^ {n – p} [/ matemáticas]

(de nuevo, ¡no es la “fórmula” la que debemos recordar sino la idea!)

Ahora esto parece estar bien siempre que [math] n> p [/ math].

Supongamos que consideramos [matemáticas] \ frac {b ^ 3} {b ^ 3} [/ matemáticas]. Si usamos la “regla” anterior, obtenemos una respuesta inusual:

[matemáticas] \ dfrac {b ^ 3} {b ^ 3} = b ^ {3 – 3} = b ^ 0 [/ matemáticas].

Pero si usamos la lógica fundamental obtenemos:

[matemáticas] \ dfrac {b ^ 3} {b ^ 3} = \ dfrac {b \ times b \ times b} {b \ times b \ times b} = 1 [/ matemáticas]

La conclusión lógica es que

[matemáticas] b ^ 0 [/ matemáticas] debe ser [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

¡Espero que esto haga el trabajo!

Answer 8

Solía ​​dar clases particulares y enseñar a alumnos dotados de 4º y 5º grado en el pasado y esta es una pregunta que les gustaría saber la respuesta de inmediato. No podían esperar después de que cubrí la lección sobre las reglas de los exponentes, así que les di la siguiente explicación, que por alguna razón los satisfizo más que la que involucra las reglas (que se encuentra en el desplazamiento hacia abajo). ¡Puede o no convencerte, pero vaya que sí los convenció!

“¡Exponentes!”, Comenzaría a decirle a la clase “¡te diré cuántas veces usarás la base como factor en un producto!”. Luego me quedaría en silencio por unos segundos solo para mantenerlos en suspenso por un momento .

“¡Y !!!!” responderían con ansiedad. “¿Es asi? ¡Ya lo sabemos! Entonces, ¿cuál es la razón por la cual dos a cero es igual a uno?

“Oh lo siento. Olvidé agregar un pequeño detalle. “¡Exponentes!” Comenzaría de nuevo “¡te diré cuántas veces vas a usar la base como factor en un producto CON UNO!”

“¿Quéaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaas?

Así es como fue el resto del intercambio:

Clase: “¿Con uno? ¿por qué? ¿Por qué no dos, cinco, cien? No lo entiendo Maestro por favor explique antes de que mi cabeza explote ”

Yo: “¿Recuerdas lo que dije la semana pasada sobre lo que significa la palabra factor ?”

Clase: “Sí”

Yo: “¿Qué dije?”

Clase: “Bueno, usted dijo que cuando multiplica dos o más números y obtiene una respuesta, la respuesta se llama producto y cada uno de los números se llama factor”.

Estoy en lo correcto. Entonces, si dije [matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ veces [/ matemáticas] [matemáticas] 3 [/ matemáticas] [matemáticas] \ veces [/ matemáticas] [matemáticas] 4 [/ matemáticas] = [matemáticas] 24 [/ matemáticas]. ¿Cómo se llama [math] 24 [/ math]? ”

Clase: “El producto”

Estoy en lo correcto. ¿Y los dos?

Clase: “factor”

Yo: “Muy bien. ¿Qué tal los tres y los cuatro?

Clase: “¡el tres es un factor y el cuatro es otro factor!”

Yo: “excelente. Ahora, en mi ecuación, ¿cuántos factores tiene el producto [matemática] 24 [/ matemática]? ”

Clase: “¡Tres!”

Yo: “Correcto. Bien, ahora que hemos sacado las definiciones del camino, volvamos a esa ecuación confusa [matemáticas] 2 ^ 0 [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Ahora, si tuviera que usar la definición original de lo que te dice un exponente, di en voz alta juntos lo que [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática] significa ”.

Clase: “dos veces dos veces dos !!!”

Yo: “Muy bien! ¿Qué tal [matemáticas] 2 ^ 2 [/ matemáticas]? ”

Clase: “¡dos veces dos!”

Yo: “Está bien. Agradable. Casi ahi. Ahora [matemáticas] 2 ^ 1 [/ matemáticas]! ”

Clase: “dos”

Yo: “Bien, pero mal! ¿Alguien puede decirme por qué? ¿Nadie? ¿Ninguno? Aquí hay una pista. ¡Mira la definición!

Clase: “¿El nuevo o el original?”

Yo: “El original. Léelo en voz alta.

Clase: “Los exponentes le dicen cuántas veces va a usar la base en un producto”.

Yo: “¡En un producto! En un producto! En un producto! ¿Consíguelo?”

Estudiante: “Hmmm. Pero un producto implica multiplicación.

Yo: “SI SI, y ?!”

Estudiante: “Eso significaría que tiene que haber algún tipo de multiplicación”.

¡Estoy en lo correcto! ¡Derecho! ¡Y!”

Estudiante: “¿Entonces tiene que haber un signo de multiplicación en alguna parte?”

Yo: Pero, ¿qué dijeron todos cuando les pregunté qué significa [matemática] 2 ^ 1 [/ matemática]? ”

Clase: “dos”

Yo: “¿Pero dónde está el signo de multiplicación? Debe decir ‘veces’ en algún lugar de su respuesta porque, recuerde, los exponentes le dicen cuántas veces va a usar la base en un PRODUCTO. Entonces, si tuviera que agregar la palabra ‘veces’ en su respuesta, ¿qué diría?

Clase: “dos … .. veces … uuum, Maestro, si decimos veces, ¿no tenemos que decir algo más?”

Yo: “Sí, lo haces. Entonces, sabiendo que solo puedes decir dos una vez porque dos es la respuesta final, ¿qué número debe aparecer después de los tiempos?

Clase: “OOOOOOoooooh !! ¡Tendría que ser dos veces uno!

Yo: “EXACTAMENTE! Entonces, en [matemáticas] 2 ^ 3 [/ matemáticas], los tres le dicen que va a utilizar [matemáticas] 2 [/ matemáticas] como factor tres veces en un producto que incluye [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 2 \ veces 2 [/ matemáticas] ”

Clase: “Entonces, [matemáticas] 2 ^ 2 [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 \ veces 2 \ veces 2 [/ matemáticas]”

Yo: “Sí”

Clase: “[matemáticas] 2 ^ 1 [/ matemáticas] = [matemáticas] 1 \ veces 2 [/ matemáticas] como dijimos”.

Yo: “Sí. ¡Y ahora para el gran final!

Clase: “Hmm. [matemáticas] 2 ^ 0 [/ matemáticas] significa que no habrá dos. Como no hay factores de dos, no hay producto. Si no hay producto, entonces no hay multiplicación. Bueno, entonces, ¡eso nos deja con solo uno!

[matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] ″

Yo: “Lo tienes”.

Clase: “OOH por eso. ¡Gracias profesor!”

Yo: “¡De nada!”

¿Por qué [matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] ?

Después de cubrir las reglas de los exponentes, escribí lo siguiente en la pizarra para la respuesta:

[matemáticas] 2 ^ 0 [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ {1–1} [/ matemáticas] [matemáticas] = [/ matemáticas] [matemáticas] 2 ^ {1 + -1 } [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] 2 ^ 1 [/ matemática] [matemática] \ cdot [/ matemática] [matemática] 2 ^ {- 1} [/ matemática] [matemática] = [ / matemática] [matemática] 2 ^ 1 [/ matemática] [matemática] \ cdot [/ matemática] [matemática] \ dfrac {1} {2 ^ 1} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ dfrac {2 ^ 1} {1} [/ matemática] [matemática] \ cdot [/ matemática] [matemática] \ dfrac {1} {2 ^ 1} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática ] \ dfrac {2 ^ 1} {2 ^ 1} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ dfrac {2} {2} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática ] 1 [/ matemáticas].

El fin

Answer 9

La exponenciación en los números naturales generalmente se considera una multiplicación repetida. Es simple para exponentes [matemática] 2 [/ matemática] o más:

[matemáticas] 2 ^ 2 = 2 \ veces 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 3 = 2 \ veces 2 \ veces 2 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 4 = 2 \ veces 2 \ veces 2 \ veces 2 = 16 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

Cuando aumentamos el exponente en 1, el resultado se multiplica por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Trabajando el patrón hacia atrás, cuando disminuimos el exponente entre [matemáticas] 1 [/ matemáticas], el resultado se divide entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Si continuamos este patrón de división entre [matemática] 2 [/ matemática] para los exponentes [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática], obtendríamos [matemática] 2 ^ 1 = 2 [/ matemática ] y [matemáticas] 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas].

EDITAR: Este argumento funcionará solo para todas las bases distintas de cero, ya que no puede dividirse entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. El caso de base cero requiere un enfoque diferente. Para exponentes de [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o más, todavía tenemos:

[matemáticas] 0 ^ 2 = 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 3 = 0 \ veces 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 ^ 4 = 0 \ veces 0 \ veces 0 \ veces 0 = 0 [/ matemáticas]

Cualquiera que sea [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] y [matemática] 0 ^ 1 [/ matemática], deberíamos tener [matemática] 0 ^ 0 \ veces 0 = 0 ^ 1 [/ matemática]. Entonces, [matemáticas] 0 ^ 1 [/ matemáticas] tendría que ser [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. Entonces tendríamos [math] 0 ^ 0 \ times 0 = 0 [/ math]. Entonces, cualquier valor funcionaría de [matemática] 0 ^ 0 [/ matemática] ya que cualquier número multiplicado por cero sigue siendo cero. Por lo tanto, podemos estar justificados al dejar [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] indefinido incluso en los números naturales (un punto muy controvertido en algunos círculos).

Answer 10

Podría decir que es por definición, pero eso no mostrará que tiene que ser así, dado lo que su hijastro ya sabe sobre exponenciación. Entonces iré por una ruta diferente:

Probablemente a su hijastro se le enseñó que la exponenciación es la multiplicación repetida, o algo similar: que a ^ 2 = a × a [matemáticas], a ^ 3 = a × a × a [/ matemáticas], etc. Esto funciona bien, pero no funciona No generalice: ¿qué significa la multiplicación repetida en el caso de un ^ π, por ejemplo? ¿Cómo puedes multiplicar a por sí mismo π veces?

Lo que generaliza mejor es la propiedad a ^ b × a ^ c = a ^ (b + c), además de saber que a ^ 1 [matemáticas] = a, a ^ 2 = a × a [/ matemáticas]. En ese caso, puede calcular que a3 = a ^ (1 + 2) = a ^ 1 × a ^ 2 = a × a × a como esperaba.

También puede calcular que a = a ^ 1 = a ^ (2–1) = (a ^ 2) (a ^ -1), entonces a ^ -1 = a ^ 1 / a ^ 2 o a / (a )(una). Es una consecuencia básica de las propiedades que sabemos que son verdaderas sobre la exponenciación.

Esto, por cierto, conduce inmediatamente a a ^ 0 = a ^ (1−1) = (a) (1 / a) = 1, que es lo que quería explicar.

Answer 11

Como otros han señalado por qué eso tiene sentido, me gustaría mostrar cómo esta convención permite que el patrón satisfaga para el exponente [math] ‘0’ [/ math].

Veamos el patrón de exponentes.

[matemáticas] \ cfrac {{2} ^ {4}} {{2} ^ {3}} = {2} ^ {4-3} = 2 [/ matemáticas]

Para todos los valores reales de n,

[matemáticas] \ cfrac {{2} ^ {n}} {{2} ^ {n-1}} = {2} ^ {n- (n-1)} = {2} ^ {n-n + 1 } = 2 [/ matemáticas]

Pongamos aquí el valor de n = 1 asumiendo que el patrón continúa.

[matemáticas] \ cfrac {{2} ^ {1}} {{2} ^ {1-1}} = 2 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] \ cfrac {{2} ^ {1}} {{2} ^ {0}} = 2 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] {2} ^ {0} = \ cfrac {2} {2} = 1 [/ matemáticas]

Si tomamos el valor de [math] {2} ^ {0} [/ math] igual a [math] 1 [/ math], el patrón es incluso válido para el exponente [math] ‘0 ′ [/ math]. Asignamos convencionalmente los valores para expresiones poco claras para que el patrón no falle. Esta es una de las culturas de las matemáticas.

Answer 12

Usemos un ejemplo:

2 ^ 3/2 ^ 3 = 8/8 = 1

Sin embargo, conocemos la ley de índices: x ^ y – x ^ z = x ^ yz
(x ^ 4 / x ^ 3 = x ^ 1)

Por lo tanto: 2 ^ 3/2 ^ 3 = 2 ^ 0 (porque 3–3 = 0)

POR LO TANTO:
2 ^ 0 = 1

Answer 13

Una forma alternativa, y una forma más visual de pensar en un poder [matemáticas] n ^ m [/ matemáticas], que se enseña en la teoría de conjuntos, es que la base n es un conjunto de tamaño [matemáticas] n [/ matemáticas], y cuántos grupos distintos del tamaño del exponente m puede hacer, utilizando solo los objetos del conjunto base.

Por ejemplo, [matemática] 2 ^ 3 [/ matemática] es una combinación de grupos de tres, utilizando solo dos objetos. Dado el conjunto {0,1} podemos hacer los siguientes grupos:

1. {0,0,0}
2. {0,0,1}
3. {0,1,0}
4. {1,0,0}
5. {1,1,0}
6. {1,0,1}
7. {0,1,1}
8. {1,1,1}

Con esto en mente, es fácil ver que [math] n ^ 0 [/ math] es todas las funciones de un conjunto de cualquier tamaño, a un conjunto de tamaño 0. Dado que el único conjunto con tamaño cero es el conjunto vacío {}, concluimos que solo hay una de esas funciones, y que para cada n, [matemática] n ^ 0 = 1 [/ matemática].

Answer 14

Conveniencia.

Los matemáticos son un grupo minimalista. Si ya están en posesión de un conjunto de reglas que funcionan para cualquier número excepto el cero, entonces intentarán asegurarse de que esas reglas se mantengan verdaderas incluso para el número cero. Las leyes de los índices son un gran ejemplo de esto.

Considere la ley: [matemáticas] a ^ m \ veces a ^ n = a ^ {m + n} [/ matemáticas].

Si [matemática] n = 0 [/ matemática], la regla anterior se convierte en: [matemática] a ^ m \ veces a ^ 0 = a ^ m [/ matemática].

¿Qué número [math] x [/ math] satisface la propiedad [math] y \ times x = y [/ math]? [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] sí. Por lo tanto, los matemáticos obligaron a [matemáticas] a ^ 0 [/ matemáticas] a ser igual a uno, de modo que la regla [matemáticas] a ^ m \ veces a ^ n = a ^ {m + n} [/ matemáticas] es verdadera para [ matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] también.

¿Los culparías por no extender el conjunto de reglas existentes para atender el número cero? Yo no.

Answer 15

El exponente de un número dice cuántas veces usar el número en una multiplicación.

Si el exponente tiene la forma de a ^ b. significa cuántas veces se debe usar a en la multiplicación.

Probemos por 2 ^ 0 = 1 por otras reglas conocidas de exponenciación.

sabemos que cualquier número a la potencia de 1 es el número mismo.

2 ^ 1 = 2.

Ahora, sabemos por regla de exponenciación negativa que:

2 ^ -1 = 1/2 ^ 1

Ahora podemos escribir la expresión anterior como,

2 ^ -1 X 2 ^ 1 = 1

Ahora, sabemos que si multiplicamos dos exponentes con la misma base, entonces se suman sus poderes

2 ^ (1-1) = 1

es decir

2 ^ 0 = 1

Esta es una forma de probar esto. Puede usar la combinación de otras reglas de exponenciación para demostrar lo mismo.

Answer 16

Explicaré esto lo más claramente posible.

¡Esta idea no solo es cierta para 2 ^ 0, por supuesto!

Podríamos tener 3 ^ 0, 19 ^ 0, 153 ^ 0 y todos equivalen a 1

Por esta razón, usaré una “b” para representar cualquier número (que no sea 0)

¡Así es básicamente cómo procedería a explicarle a una persona por qué b0 = 1 [matemáticas] b0 = 1 [/ matemáticas] en lugar de tratar de engañar a la persona con matemáticas más altas !:

Lo sabemos:

• b3 [matemáticas] b3 [/ matemáticas] significa b × b × b [matemáticas] b × b × b [/ matemáticas]
• b2 [matemáticas] b2 [/ matemáticas] significa b × b [matemáticas] b × b [/ matemáticas]
• b1 [matemáticas] b1 [/ matemáticas] significa b [matemáticas] b [/ matemáticas]

¡pero b0 [matemáticas] b0 [/ matemáticas] no parece tener ningún sentido!

Entonces, usando lo que SÍ sabemos y ya entendemos:

b3 × b2 [matemática] b3 × b2 [/ matemática] significa b × b × b × b × b = b5 [matemática] b × b × b × b × b = b5 [/ matemática].

Entonces vemos que no necesitamos escribir todos los b [math] b [/ math] ‘s. Podríamos generalizar y poner b17 × b13 = b17 + 13 = b30 [matemáticas] b17 × b13 = b17 + 13 = b30 [/ matemáticas] y así

bn × bp = b (n + p) [matemáticas] bn × bp = b (n + p) [/ matemáticas]

(¡Pero debemos recordar esta idea , no la “fórmula” anterior!)

Similar,

b5b3 = b × b × b × b × bb × b × b = b2 [matemáticas] b5b3 = b × b × b × b × bb × b × b = b2 [/ matemáticas]

Podemos generalizar aquí también para que b18b14 = b18–14 = b4 [matemáticas] b18b14 = b18–14 = b4 [/ matemáticas] y así

bnbp = bn − p [matemáticas] bnbp = bn − p [/ matemáticas]

(de nuevo, ¡no es la “fórmula” la que debemos recordar sino la idea!)

Ahora esto parece estar bien siempre que n> p [matemáticas] n> p [/ matemáticas].

Supongamos que consideramos b3b3 [matemáticas] b3b3 [/ matemáticas]. Si usamos la “regla” anterior, obtenemos una respuesta inusual:

b3b3 = b3−3 = b0 [matemáticas] b3b3 = b3−3 = b0 [/ matemáticas].

Pero si usamos la lógica fundamental obtenemos:

b3b3 = b × b × bb × b × b = 1 [matemáticas] b3b3 = b × b × bb × b × b = 1 [/ matemáticas]

La conclusión lógica es que

b0 [matemática] b0 [/ matemática] debe ser 1 [matemática] 1 [/ matemática].

¡Espero que esto haga el trabajo!

Answer 17

Bueno, 1 es la “identidad multiplicativa”, que significa el número para el cual x * 1 = x para todo x. Entonces, piense en el patrón:

2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 = 8, lo que obtienes cuando multiplicas tres tres 2 juntos

2 ^ 2 = 2 * 2 = 4, lo que obtienes cuando los dos 2 están juntos

2 ^ 1 = 2, lo que obtienes cuando solo tienes un factor de 2

Entonces, ¿cuál es el sentido natural de lo que debería ser 2 ^ 0? Bueno, 2 multiplicado por sí mismo cero veces. Esto no tiene ningún factor en absoluto … así que sea lo que sea, multiplicar por él no debería cambiar un número, esto es exactamente lo que hace 1, entonces 2 ^ 0 = 1.

(Hay muchas otras formas de explicar esto; depende de cómo defina los poderes. Generalmente definimos un ^ 0 = 1 para cualquier otro que no sea 0 … pero es por eso que lo definimos de esa manera).

Solo para continuar la progresión, puede notar que cada vez que baja la potencia por 1, divide entre 2. Esta sería otra razón por la que 2 ^ 0 = 1: es 2 dividido por 2. Si continúa, 2 ^ -1 = 1/2, 2 ^ -2 = 1/4, etc., por lo que el patrón también se mantiene con poderes negativos.

Answer 18

Considere n ^ (a + b), sabemos por reglas de exponente que,

n ^ (a + b) = (n ^ a) (n ^ b)

Si queremos saber a qué equivale n ^ 0, consideramos que aob es igual a cero.

Entonces, n ^ (0 + b) = n ^ b = (n ^ 0) (n ^ b), aclarando las cosas,

n ^ b = (n ^ 0) (n ^ b), dividiendo ambos lados por n ^ b,

1 = n ^ 0. QED

Este resultado funciona independientemente de lo que sea n, por lo que nϵ C (leído como: n es un elemento del conjunto de números complejos).

Entonces n puede ser 1, π, e, i, sin (θ) … etcétera etcétera

Observe que el conjunto de números complejos incluye números reales debido a que la forma general de un número complejo es z = a + ib. z es real si b = 0 ya que no hay una parte imaginaria.

Answer 19

En lugar de justificar los resultados a través de ejemplos de la vida real como algunas otras respuestas, mostraré por qué [matemáticas] 2 ^ 0 [/ matemáticas] debe ser igual a 1 desde un punto de vista matemático.

Tomar el poder de es un método para acortar la notación.

Entonces, en lugar de [math] 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ math] escribimos [math] 2 ^ 3 [/ math]. Otra forma de escribir los tres 2 multiplicados entre sí es [matemática] 2 ^ 2 \ cdot 2 ^ 1 [/ matemática]. Lo que significa que es equivalente a [matemáticas] 2 ^ 3 [/ matemáticas], por lo que los exponentes agregan:

[matemática] \ rightarrow [/ matemática] Para cualquier número [matemática] a, b [/ matemática] ponemos el exponente: [matemática] 2 ^ a \ cdot 2 ^ b = 2 ^ {a + b} [/ matemática ]

Ahora supongamos que establecemos [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas] en la ecuación anterior. Entonces nosotros tenemos:

[matemáticas] 2 ^ a \ cdot 2 ^ 0 = 2 ^ {a + 0} \ rightarrow 2 ^ a \ cdot 2 ^ 0 = 2 ^ a \ rightarrow 2 ^ 0 [/ math] debe ser igual a 1.

Si 2 (u otro número) a la potencia 0 no fuera 1, se violaría el principio de que se pueden sumar exponentes, lo que rompería con nuestro entendimiento de que [matemáticas] 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ matemáticas] es igual a ambos [matemáticas] 2 ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ 2 \ cdot 2 ^ 1 [/ matemáticas].

Answer 20

Esta es una de mis preguntas favoritas porque demuestra cómo funcionan las matemáticas. Me di cuenta de que muchas personas tienen dificultades para recordar las leyes del índice porque, por alguna razón, se presentan a los estudiantes como un conjunto extraño de reglas para recordar en lugar de lo que realmente son: una consecuencia lógica de la definición de los índices. Comencemos con las matemáticas (lo que realmente significa, pensemos lógicamente sobre lo que ya sabemos).

A pesar de esa pequeña queja, por razones de brevedad y para mantenerme en el punto, voy a omitir un poco de derivación y simplemente recordarle la ley de índice para la división:

[matemáticas] \ frac {a ^ b} {a ^ c} = a ^ {bc} [/ matemáticas]

Ahora, ¿por qué funciona esta ley? Veamos un ejemplo:

Considere [matemáticas] \ frac {x ^ 3} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Si ampliamos esto usando la definición de índices obtenemos

[matemáticas] \ frac {x \ veces x \ veces x} {x \ veces x} [/ matemáticas]

Entonces ocurre alguna cancelación

[matemáticas] \ frac {x \ require {cancelar} \ cancel {x} \ cancel {x}} {\ cancel {x} \ cancel {x}} = x [/ math]

Si usamos la ley para la división en el mismo problema, obtenemos

[matemáticas] \ frac {x ^ 3} {x ^ 2} = x ^ {3-2} = x ^ 1 = x [/ matemáticas]

Entonces nuestras respuestas están de acuerdo.

Usemos algunos números ahora y acerquémonos a responder su pregunta.

¿Qué pasaría si tuviéramos [matemáticas] \ frac {2 ^ 3} {2 ^ 3} [/ matemáticas]

Bueno, sabemos muy bien que esto va a ser 1 en virtud del hecho de que es un número dividido por sí mismo, que es 1, pero vamos a seguirlo siguiendo las reglas.

[matemáticas] \ frac {2 ^ 3} {2 ^ 3} = \ frac {2 \ times 2 \ times 2} {2 \ times 2 \ times 2} = \ frac {2} {2} \ times \ frac { 2} {2} \ veces \ frac {2} {2} = 1 \ veces 1 \ veces 1 = 1 [/ matemáticas]

Si usamos la ley del índice para la división

[matemáticas] \ frac {2 ^ 3} {2 ^ 3} = 2 ^ {3-3} = 2 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Mi respuesta es un poco enrevesada y no particularmente minuciosa, pero espero que demuestre que todo el asunto “elevado a la potencia de cero es igual a uno” no es una regla arbitraria inventada, sino que en realidad es una consecuencia de la “regla” para la división de índices (que, aunque no lo he demostrado, es una consecuencia de la “regla” para la multiplicación de índices, que es una consecuencia de la definición de índices. Eventualmente todo vuelve a los axiomas. Mi La cita favorita de Einstein es que las matemáticas son “la poesía de las ideas lógicas”.)

Espero que sea claro.