Si [matemática] x + y + z, xyz, [/ matemática] y [matemática] xy + yz + xz [/ matemática] son ​​positivos, son [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] , y [math] z [/ math] todo garantizado para ser positivo? ¿Por qué?

Answer 1

Si.

¿Cómo abordarías este problema? En general, cuando ve sumas simétricas como [matemáticas] x + y + z [/ matemáticas] o [matemáticas] xyz [/ matemáticas], debe pensar instantáneamente en las fórmulas de Vieta y las identidades de Newton. En este caso, las fórmulas de Vieta son lo que necesitamos.

Sea [matemática] a = [/ matemática] [matemática] x + y + z [/ matemática], [matemática] b = xy + yz + xz [/ matemática], [matemática] c = xyz [/ matemática]. Entonces el polinomio [matemáticas] P (t) = t ^ 3-at ^ 2 + bt-c [/ matemáticas] tiene raíces x [matemáticas], y, z [/ matemáticas] por las fórmulas de Vieta. La condición del problema implica que a, b, c son todos positivos. Supongamos, en aras de la contradicción, que [matemática] P (t) [/ matemática] tiene una raíz cuando t es negativa. Entonces [math] 0 = t ^ 3-at ^ 2 + bt-c [/ math]. ¿Cómo mostramos que no es cero? Una forma de mostrar que algo no es cero, es mostrar que definitivamente es positivo o negativo. Así que veamos los signos y veamos qué podemos inferir. Considere cada término: [matemática] t ^ 3 [/ matemática] es negativa, [matemática] t ^ 2 [/ matemática] es positiva, así que [matemática] -at ^ 2 [/ matemática] es negativa, de manera similar [matemática] bt [ / math] es negativo y [math] -c [/ math] es negativo. Por lo tanto, [math] t ^ 3-at ^ 2 + bt-c [/ math] es negativo, pero eso contradice nuestra suposición de que es cero. Por lo tanto, nuestra suposición era incorrecta, y no hay raíz de [matemáticas] P (t) [/ matemáticas] que sea negativa. Dado que los ceros de [matemáticas] P (t) [/ matemáticas] son ​​x, y, z, ¡hemos terminado!

Alternativamente, puede usar la regla de signos de Descartes en P (t) para mostrar también que sus raíces son todos números positivos.

Este enfoque también funciona para cualquier número de variables. Por ejemplo, si sabe que x + y + z + w, xy + xz + xw + yz + yw + zw, xyz + xyw + xzw + yzw, xyzw son todos positivos, entonces también lo son x, y, z, w .

Answer 2

Ya sabes por otras respuestas que la respuesta es sí. La única forma en que las tres ecuaciones son mayores que cero es si los tres valores son mayores que cero (positivo).

Sin embargo, a veces, cuando no estoy seguro de una respuesta, intento forzar una respuesta por fuerza bruta dejando que mi calculadora o computadora haga pruebas y errores. Si desea hacer lo mismo, y si tiene una calculadora gráfica que es compatible con la familia de calculadoras TI-84, esta es una forma de probarla.

Como puede ver, solo estoy probando donde X e Y son negativos, con Z positivo. Eso nos da XYZ> 0, por lo que la instrucción IF solo necesita verificar X + Y + Z> 0 y XY + XZ + XZ> 0. Mi programa, por supuesto, no encontró respuestas.

Para resumir el proceso de papel y lápiz para mostrar que no hay soluciones con X negativo, Y negativo y Z positivo, reescribiré las ecuaciones con paréntesis de valor absoluto para que podamos ver el recordatorio de los signos en cada paso del camino.

SUGERENCIA: intente trabajar con anticipación en papel y solo lea los siguientes pasos después de probarlo usted mismo.

1. – | X + Y | + Z> 0 → (equivalente de X + Y + Z> 0)
2. Z> | X + Y | → (Agregué | X + Y | a ambos lados de la ecuación
3. Esto nos dice que el valor absoluto de (X + Y) debe ser menor que Z.
4. De manera similar, podemos demostrar que Z> | X | y Z> | Y |, pero lo dejaré para que lo demuestre.
5. Según los signos, sabemos que:
   XZ <0
   YZ <0
   XY> 0
6. ¿Cuál es el menor de los valores absolutos de estos valores? Adelante, resuélvelo tú mismo.
7. Desde Z> | Y | (paso 4), luego | XZ | > | XY |
8. Desde Z> | X | (ídem), entonces | YZ | > | XY |
9. No importa si XZ es o no mayor que YZ
10. | XY | es el menor de los tres valores absolutos, | XY |, | XZ | y | YZ |.
11. + | XY | – | XZ | – | YZ | > 0 → (esto es XY + YZ + XZ> 0 con valores absolutos)
    + | XY | – | XZ + YZ | > 0 → (para que podamos ver fácilmente sus respectivos signos)
12. + | XY | – Z | X + Y | > 0 → (distribuir la Z)
13. + | XY | > Z | X + Y | → (agregue el término negativo a ambos lados de la ecuación)
14. Mire los cuatro multiplicandos, | X |, | Y |, | Z | y | X + Y |.
15. ¿Cuáles son los dos valores más pequeños? | X | y | Y | (en cualquier orden)
16. ¿Cuáles son los dos valores más grandes? | X + Y | y | Z | (| Z | es el más grande)
17. ¿Es posible para + | XY | (el producto de los dos valores más pequeños) para ser mayor que Z | X + Y | (el producto de los dos valores más grandes)?

Como puede ver, si hizo todo paso a paso, eso es imposible, por lo que como otros ya han acordado, la respuesta a su pregunta es SÍ, los tres valores deben ser positivos.

(Si no lo siguió haciendo esto usted mismo en papel, regrese y hágalo ahora. Realmente lo ayudará a comprenderlo).

Answer 3

1. Para [math] xyz> 0 [/ math] es que todos son positivos o uno de ellos es positivo y los otros dos son negativos. Investiguemos el caso donde dos números son negativos y solo uno es positivo. supongamos que [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] y, z <0 [/ matemática]
2. [matemática] x + y + z> 0 [/ matemática] implica que [matemática] | x |> | y | + | z | [/ matemática], si [matemática] x [/ matemática] no es mayor que la magnitud de la suma de [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática], la suma total [matemática] x + y + z [/ matemática] no será positiva. Mantén esto en mente.
3. ahora de los pasos anteriores tenemos [matemática] xy <0 [/ matemática], [matemática] xz <0 [/ matemática] y [matemática] yz> 0 [/ matemática] desafortunadamente el único término positivo (yz) es el más pequeño en magnitud (fácil de probar). Así [matemáticas] xy + xz + yz <0 [/ matemáticas]
4. Por lo tanto, no hay forma de que se cumplan las 3 condiciones a menos que todas [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] sean positivas

Answer 4

En primer lugar, ninguno de [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] o [matemática] z [/ matemática] puede ser cero, de lo contrario [matemática] xyz = 0 [/ matemática], que es no positivo Además, si las tres [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] son ​​negativas, o si exactamente una de [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] es negativa, entonces [matemáticas] xyz <0 [/ math], que nuevamente contradice [math] xyz> 0 [/ math].

Ahora suponga, sin pérdida de generalidad, que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son ​​negativas, y [matemática] z [/ matemática] es positiva. Como [matemáticas] x + y + z> 0 [/ matemáticas], [matemáticas] x + y> -z [/ matemáticas]. Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por el número negativo [matemática] x + y [/ matemática], obtenemos [matemática] (x + y) ^ 2 <-z (x + y) [/ matemática], o [matemática] z (x + y) <- (x + y) ^ 2 [/ matemática]. Ahora

[matemáticas] xy + yz + xz = xy + z (x + y)

dado que [math] xy, x ^ 2 [/ math] y [math] y ^ 2 [/ math] son ​​todas positivas. Esto contradice el hecho de que [matemáticas] xy + yz + xz> 0 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la única posibilidad restante, es decir, que todas las [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] son ​​positivas, deben ser verdaderas.

Answer 5

Sí, si x + y + z y xyz son positivas, entonces x, y, z podrían ser positivas o dos de ellas negativas, mientras que la última es positiva y mayor que el módulo de su suma.
Supongamos que x, y son negativos y z es positivo.
De acuerdo con eso, z> – (x + y), entonces z (x + y) <- (x + y) ^ 2 porque x + y <0.
Entonces, xy + yz + xz = xy + z (x + y)
xy + z (x + y) xy- (x + y) ^ 2 = -x ^ 2-y ^ 2-xy <0.
Por lo tanto, de esta manera encontramos que xy + yz + xz es negativo, pero usted dijo que es positivo, por lo que x, y, z deben ser positivos al mismo tiempo.

Answer 6

Voy a dar una prueba directa aquí.

Deje que [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] sean 3 números reales. Pongamos las siguientes hipótesis sobre ellos.

[matemáticas] I = xy + yz + zx> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] S = x + y + z> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] P = xyz> 0 [/ matemáticas]

En primer lugar, usemos la condición en [matemáticas] I. [/ matemáticas] Vemos que:

[matemática] x * I = xyz + yx ^ 2 + zx ^ 2 [/ matemática] que puede escribirse como [matemática] x * I = P + x ^ 2 * (y + z) [/ matemática].

Como sabemos que [math] P [/ math] es positivo, la última ecuación supongamos que [math] y + z> 0 \ Rightarrow x * I> 0 \ Rightarrow x> 0 [/ math].

De la misma manera, podemos probar que [matemáticas] x + z> 0 \ Flecha derecha y> 0 [/ matemáticas] y que [matemáticas] x + y> 0 \ Flecha derecha z> 0 [/ matemáticas].

Además, es fácil demostrar que tener [matemática] S> 0 [/ matemática] y [matemática] P> 0 [/ matemática] es verdadera, al menos dos de las sumas [matemática] x + y, y + z , z + x [/ math] debe ser positivo.

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Probemos mi última declaración.

Obviamente, no todas las sumas parciales [matemática] x + y, y + z [/ matemática] y [matemática] z + x [/ matemática] pueden ser negativas porque su suma [matemática] 2 * S <0 [/ matemática] .

No dos 2 de ellos pueden ser negativos. Para probar esto, supongamos que estas dos sumas negativas son [matemáticas] x + y [/ matemáticas] y [matemáticas] y + z [/ matemáticas]. Así, [matemáticas] x + y + y + z = S + y <0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y <-S <0 [/ matemáticas]. También tenemos [matemáticas] x = S - (x + y)> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = S – (x + z)> 0 [/ matemáticas]. Pero [math] x> 0, y> 0, z <0 \ Rightarrow P <0 [/ math]. ¡Contradictorio!

Así que acabamos de demostrar que al menos dos de estas sumas son positivas.

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Volviendo a nuestro problema, ahora que sabemos que dos de las sumas parciales son positivas, podemos suponer que [matemáticas] x + y> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y + z> 0 [/ matemáticas]. El resto es sencillo.

Tenemos: [math] x + y> 0 \ Rightarrow z> 0 [/ math] y [math] y + z> 0 \ Rightarrow x> 0 [/ math]. Ahora, como [matemática] x> 0 [/ matemática] y [matemática] z> 0 [/ matemática], también tenemos [matemática] x + z> 0 [/ matemática] lo que implica que [matemática] y> 0 [ /matemáticas].

Conclusión : [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] son ​​todas positivas.

Answer 7

La única posibilidad no obvia es cuando dos de las variables son negativas. Sin pérdida de generalidad, tome z> 0, y <0, x = -1. Deje u = -y. Entonces z> u + 1, y u-uz-z> 0, es decir, z u + 1> 1 y z

Entonces sí, es posible tener valores negativos si 1 <1 pero no de otra manera.

Answer 8

Dado que,

x + y + z, xyz y xy + xz + yz son todos positivos.

1. Considerando el segundo caso, si xyz es positivo, eso significa que todos son positivos o dos son números negativos. Supongamos que x e y son números negativos, entonces el producto de los tres x, y y z dará como resultado un número positivo.
2. Ahora considerando el primer caso, x + y + z, el resultado es positivo. Como hemos supuesto que x e y son números -ve, entonces (-x) + (- y) + z debería dar como resultado un número + ve. Para que esta condición sea verdadera, | z | > | x | + | y ​​|. es decir, mod z debería ser mayor que la suma de mod x y mod y.
3. Ahora el tercer caso, xy + xz + yz es un número positivo. Según nuestra suposición, x e y son -ve, por lo que el producto xz e yz también será un número -ve y xy será positivo. Significa que (xy) + (- xz) + (- yz) debería dar como resultado un número positivo. Pero según nuestra conclusión del punto 2, z es el más grande de todos. Entonces el producto | xz | y | yz | también será más grande que | xy |. Por lo tanto, la suma (xy) + (- xz) + (- yz) dará como resultado un número -ve.

Por lo tanto, nuestra suposición de que 2 variables pueden ser -ve falla. Entonces, esto indica que todos los números deben ser positivos para satisfacer las expresiones anteriores.

Answer 9

Considera el polinomio

[matemáticas] p (T) = (Tx) (Ty) (Tz) [/ matemáticas].

Este polinomio debería ser tu primer pensamiento cuando veas una pregunta sobre [matemáticas] x + y + z, xy + xz + yz [/ matemáticas] y [matemáticas] xyz [/ matemáticas] porque esas expresiones son sus coeficientes, con signos alternos . Puede ver esto simplemente expandiendo el producto:

[matemáticas] p (T) = T ^ 3- (x + y + z) T ^ 2 + (xy + xz + yz) T-xyz [/ matemáticas].

Ahora, dado que estos coeficientes (sin los signos alternos) son todos positivos, podemos concluir que

[matemática] p (T) <0 [/ matemática] cuando [matemática] T \ leq 0 [/ matemática].

Esto es simplemente porque, cuando [matemáticas] T [/ matemáticas] es negativo, todos y cada uno de los términos en la expansión de [matemáticas] p (T) [/ matemáticas] también son negativos, y cuando [matemáticas] T = 0 [/ math], solo nos queda [math] -xyz [/ math] que también es negativo.

Entonces, [math] p (T) [/ math] no puede tener raíces negativas, ni siquiera [math] 0 [/ math] como raíz. Pero volviendo a la definición original de [matemática] p (T) [/ matemática], reconocemos de inmediato que sus raíces son [matemática] x, y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática], entonces todos Estos números deben ser positivos.

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Exactamente de la misma manera podemos mostrar una declaración mucho más general. Si [math] x_1, x_2, \ ldots, x_n [/ math] son ​​números reales y todas sus funciones simétricas elementales son positivas, entonces ellas también son positivas.

Las funciones simétricas elementales son

[math] \ displaystyle s_1 = \ sum_i x_i = [/ math] la suma de todos los números

[math] \ displaystyle s_2 = \ sum_ {i

[math] \ displaystyle s_3 = \ sum_ {i

y así hasta

[math] \ displaystyle s_n = x_1x_2 \ ldots x_n = [/ math] la suma de todas las tuplas [math] n [/ math] posibles, de las cuales solo hay una.

Answer 10

En el espacio de números reales, la multiplicación resultante de xyz es negativa si y solo si uno o todos los componentes son negativos. Por lo tanto, solo debemos preocuparnos por la situación en la que dos componentes son -ve.

Si 2 componentes son -ve, entonces 2 operandos de xy + yz + xz serán -ve, los que resultan de la multiplicación con el único componente + ve. Por lo tanto, si hiciéramos xy + yz + xz + -ve, el único componente + -ve debe ser lo suficientemente pequeño en valor absoluto en comparación con los componentes 2ve. … (1)

El resultado de x + y + z con componentes 2 -ve (operandos) y componente 1 + ve será + ve si el componente positivo es mayor que el valor absoluto de la suma de los componentes 2ve. … (2)

(1) es la situación opuesta a (2). Por lo tanto, si hay componentes de 2 -ve, x + y + z o xy + yz + xz serán -ve.

Por lo tanto, la declaración es válida.

Answer 11

Si. Para obtener un número positivo de xyz necesita dos letras para ser positivo, por ejemplo, x, y <0 y z> 0. Todavía puede obtener x + y + z> 0, pero no hay forma de mantener verdadera la tercera desigualdad: xy sería positivo, pero tanto yz como xz serían negativas y dado que desde la primera desigualdad sabemos que x + y < z; | xy | <| yz | y | xy | <| xz |.