Si una raíz de [matemáticas] 3x ^ 2 – 4x + k = 0 [/ matemáticas], es tres veces la otra, ¿cuál es el valor de [matemáticas] k [/ matemáticas]?

Answer 1

k = 1.

Deje que las raíces sean [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas] [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas].

Se nos da la ecuación:

[matemáticas] 3x ^ 2-4x + k = 0 [/ matemáticas]

Sabemos que para una ecuación [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática],

Suma de las raíces = [matemáticas] – \ dfrac {b} {a} [/ matemáticas]

y

Producto de las raíces = [matemáticas] \ dfrac {c} {a} [/ matemáticas].

Entonces tenemos:

[matemáticas] \ alpha + 3 \ alpha = 4 \ alpha = \ dfrac {4} {3} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ alpha = \ dfrac {1} {3} [/ math].

y

[matemáticas] \ alpha \ times 3 \ alpha = 3 \ alpha ^ 2 = 3 (\ dfrac {1} {3}) ^ 2 = \ dfrac {1} {3} = \ dfrac {k} {3} [/ matemáticas].

Entonces, [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas]!

Answer 2

la suma de las raíces es 4/3. Las raíces son decir, y & 3y. Entonces 4y = 4/3, por lo tanto y = 1/3.

Entonces, producto de raíces = k / 3 = 1/3. Por lo tanto, k = 1.

Answer 3

Deje que la raíz sea [math] \ alpha [/ math], luego la otra raíz es [math] 3 \ alpha [/ math]. La suma de las raíces es [math] \ alpha + 3 \ alpha = \ frac {-b} {a} [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] 4 [/ matemáticas] [matemáticas] \ alpha = \ frac {-b} {a} = \ frac {4} {3}, [/ matemáticas] así que [matemáticas] \ alpha = \ dfrac {1} {3} [/ math] y el producto de las raíces [math] \ alpha * 3 \ alpha = 3 \ alpha ^ 2 = \ frac {c} {a} = \ frac {k } {3} [/ matemáticas]. Ahora sustituya [math] \ alpha = \ frac {1} {3} [/ math] en lo anterior. [matemáticas] 3 * (\ frac {1} {3} ^ 2) = 3 * \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}. [/ math] Dado que [math] \ frac {1} {3} = \ frac {k} {3} [/ math], el valor de [math] k [/ math] es [math] 1. [/matemáticas]

Answer 4

Deje que las raíces sean λ y 3λ, ya que ambas son las raíces de la ecuación

3x²-4x + k = 0,

3λ²-4λ + k = 0,… eq1 y

27λ²-12λ + k = 0 … eq2.

Restando 9 × eq1 de eq2,

k = 3λ.

Dado que 3λ en sí mismo es una raíz de la ecuación, implica que k es una raíz de la ecuación en sí misma.

3k²-4k + k = 0,

Lo que nos da

k = 0 o k = 1.

Pero, k = 0 no sigue la condición dada.

Lo que significa que el único k posible es 1.

Answer 5

En primer lugar, divide el cuadrático por 3 para obtener,

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 – \ frac {4} {3} x + \ frac {k} {3} = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Deje que [matemáticas] r, 3r [/ matemáticas] sean las raíces de la cuadrática, entonces,

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 – \ frac {4} {3} x + \ frac {k} {3} = (x – r) (x – 3r) = x ^ 2 – 4rx + 3r ^ 2 \ tag {2} [/ matemáticas]

Comparando los coeficientes en ambos lados obtenemos,

[matemáticas] \ displaystyle -4r = – \ frac {4} {3}, \; \; 3r ^ 2 = \ frac {k} {3} \ tag {3} [/ math]

Resolver para r y k dará,

[matemáticas] \ displaystyle r = \ frac {1} {3}, \; \; k = 1 \ etiqueta {4} [/ matemáticas]

Answer 6