Hasta donde puedo ver, lo entiendes bien, no veo por qué no puedes calcular [matemáticas] Df (1, -2) [/ matemáticas] y [matemáticas] H (1, -2) [/ matemáticas] , simplemente inserta esos números, son cálculos muy sencillos.
La pista que te da tu maestro se puede explicar de la siguiente manera. Solo se le solicita la expansión de segundo orden y su función es claramente un producto de varias funciones más simples. Veamos qué sucedería si primero escribiéramos esas funciones simples como series de Taylor, y luego resolviéramos la multiplicación.
[matemáticas] f (x, y) = g (x, y) h (x, y) = (g_ {00} + g_ {10} x + g_ {01} y + \ frac {1} {2!} (g_ {20} x ^ 2 + g_ {11} xy + g_ {02} y ^ 2)) (h_ {00} + h_ {10} x + h_ {01} y + \ frac {1} {2! } (h_ {20} x ^ 2 + h_ {11} xy + h_ {02} y ^ 2)) [/ matemáticas]
Resolver esto completamente es tedioso. ¡Pero recuerda! solo estaba interesado en trabajar hasta el segundo orden. Por lo tanto, cualquier producto que resulte en un factor de [matemáticas] x ^ 3, x ^ 2 y, xy ^ 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] y ^ 3 [/ matemáticas], o superior, puede ser ignorado.
- ¿Cuál es el valor de [matemáticas] x [/ matemáticas] de la ecuación [matemáticas] \ sqrt {\ dfrac {x} {1 – x}} + \ sqrt {\ dfrac {1 – x} {x}} = 2 + \ dfrac {1} {6} [/ matemáticas]?
- ¿Cómo funciona el [math] \ lim_ {x \ to \ infty} {(1+ \ frac {1} {x})} ^ {x} = e [/ math]?
- ¿Por qué cuadrar una ecuación crea respuestas adicionales que pueden no funcionar para la ecuación original?
- Cómo recuperar la confianza académica y el dominio
- ¿Por qué [math] (-1) ^ {\ frac13} = – 1 [/ math]?
Entonces, resolvamos el orden cero. Para la función g tenemos [math] g_ {00} [/ math] y lo mismo para h. Entonces el orden cero es:
[matemáticas] f_ {00} = g_ {00} h_ {00} [/ matemáticas]
Luego resuelve el primer pedido. El primer pedido significa que solo aceptamos un producto que va como ~ x o como ~ y, lo que significa que los únicos términos que sobrevivirían son:
[matemáticas] g_ {00} (h_ {10} x + h_ {01} y) + h_ {00} (g_ {10} x + g_ {01} y) [/ matemáticas]
El segundo orden, por supuesto, será un poco más complicado en general.
Sin embargo, la función que se le ha asignado es, en cierto sentido, extremadamente fácil. Simplemente interprete la función de la siguiente manera:
[matemáticas] f (x, y) = (x ^ 2 + y) \ veces e ^ {xy} [/ matemáticas]
Llame a [math] g (x, y) = x ^ 2 + y [/ math]. Esto, muy convenientemente, ya está escrito como el polinomio de Taylor.
Llame a [math] h (x, y) = e ^ {xy} [/ math]. Esta función también es muy conveniente. Porque la única dependencia de xey viene en la forma de su producto: [math] xy [/ math]. Como resultado, su Polinomio Taylor DEBE escribirse solo en términos de [math] xy [/ math]:
[matemáticas] h (x, y) = e ^ {xy} = 1 + xy + \ frac {1} {2!} (xy) ^ 2 +… [/ matemáticas]
Ese último término ya es de cuarto orden, por lo que puede ignorarse por completo en el cálculo posterior.
Básicamente hemos terminado ahora, tenemos dos expansiones Taylor (muy fáciles), lo único que tenemos que hacer es multiplicarlas, calcular el producto, desechar cada término que sea de orden 3 o superior.
[matemáticas] f (x, y) = (x ^ 2 + y) \ veces e ^ {xy} \ aprox (x ^ 2 + y) (1 + xy) = x ^ 2 + y + x ^ 3 y + xy ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = y + x ^ 2 [/ matemáticas]
Editar: para llegar aquí utilicé las expansiones de Taylor (de x ^ 2 + y y e ^ {xy}) alrededor de 0, para obtener la expansión de Taylor alrededor de (1, -2), debe retroceder unos pasos , y cambie cada x a x-1, y cada y a y + 2. Determinar que el producto puede (y tendrá) como resultado algunos términos nuevos de orden inferior.
Una vez que haya visto esto una o dos veces, se vuelve muy fácil. Hacerlo es mucho más rápido que la ‘técnica oficial’, ese enfoque podría ser más útil si tiene funciones que son más difíciles que estas, o si desea calcular hasta pedidos mucho más altos. La forma en que originalmente quería hacerlo es más una idea de marcador, evita errores y es muy fácil de traducir al software, pero no es la técnica más rápida para los casos simples.