Cómo encontrar una matriz [matemática] 5 \ veces 5 [/ matemática] que tenga los valores propios [matemática] \ lambda_1 = 3 [/ matemática] y [matemática] \ lambda_2 = 4 [/ matemática] con las respectivas multiplicidades geométricas [matemática] g_1 = 3, g_2 = 1 [/ matemáticas]

Answer 1

La matriz [math] 5 \ times 5 [/ math] estará en forma canónica de Jordan. Por definición, la multiplicidad geométrica correspondiente a un valor propio es igual al número de bloques de Jordan asociados con ese valor propio y la suma de los tamaños de todos los bloques Jordan correspondientes a un valor propio es igual a la multiplicidad algebraica de ese valor propio. Como la multiplicidad geométrica del valor propio 3 es 3, la multiplicidad algebraica del valor propio 3 puede ser 3 o 4, por lo que la multiplicidad algebraica del valor propio 4 es 2 o 1. Si la multiplicidad algebraica del valor propio 3 es 3, entonces la multiplicidad algebraica de eigenvalue 4 es 2. La matriz [math] 5 \ times 5 [/ math] es [math] \ left (\ begin {array} {ccccc} 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 y 0 \\ 0 y 0 y 3 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 4 y 1 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 4 \ end {array} \ right) [/ math]. Si la multiplicidad algebraica de eigenvalue 3 es 4, entonces la multiplicidad algebraica de eigenvalue 4 es 1. Entonces, la matriz es [matemática] \ left (\ begin {array} {ccccc} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 y 3 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 3 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 3 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 0 y 4 \ end {array} \ right) [/matemáticas].

Answer 2

Llamemos [math] f [/ math] al endomorfismo que tiene las propiedades que necesita, y [math] \ mathbb {K} ^ 5 [/ math] el espacio ambicioso.

Solución 1

Necesitamos elegir las multiplicidades algebraicas, porque las restricciones no son lo suficientemente fuertes como para arreglarlas: tomaré [math] \ alpha_2 = 1 [/ math] y [math] \ alpha_1 = 4 [/ math], para que manera [matemáticas] \ chi_f = (X-1) (X-4) ^ 4 [/ matemáticas].

No tenemos [math] \ alpha_2 = g_2 [/ math], por lo que la matriz no será diagonal, pero será diagonal por bloques (cada matriz podría diagonalizarse por bloques sobre [math] \ mathbb {C} [/matemáticas]).

Llamemos a [math] F_1 = \ mathrm {Ker} [(f- \ lambda_1 \ mathrm {Id}) ^ 4] [/ math] y [math] F_2 = \ mathrm {Ker} (f- \ lambda_2 \ mathrm { Id}) [/ math]. Ambos son subespacios estables, se llaman subespacios característicos de [math] f [/ math], y su suma directa es el todo.

Vamos a [matemáticas] F_1 [/ matemáticas]. Como la multiplicidad geométrica es [matemática] 3 [/ matemática], eso significa que podemos encontrar tres vectores [matemática] e_1, e_2 [/ matemática] y [matemática] e_3 [/ matemática] tal que [matemática] f (e_1) = \ lambda_1e_1, f (e_2) = \ lambda_1e_2 [/ math] y [math] f (e_3) = \ lambda_1e_3 [/ math]. No podemos encontrar otro porque la multiplicidad geométrica es demasiado baja, por lo que necesitamos hacer un vector [math] e_4 [/ math] de modo que, por ejemplo, [math] f (e_4) = \ lambda_1e_4 + e_3 [ / math] (esa es la forma de Jordan).

En [matemática] F_2 [/ matemática], simplemente obtenga cualquier vector [matemática] e_5 [/ matemática] y [matemática] f_2 (e_5) = \ lambda_2e_5 [/ matemática], con [matemática] f_2 [/ matemática] el endomorfismo inducido .

Ahora [math] \ mathbb {K} ^ 5 = F_1 \ oplus F_2 [/ math], entonces unimos las dos bases para obtener [math] \ mathscr {B} = (e_1, \ ldots, e_5) [/ math ]

Y [math] \ Delta = \ mathrm {Mat} _ {\ mathscr {B}} (f) = \ begin {pmatrix} 4 & & & \ cdots & \ Large0 \\ & 4 & & \ vdots \\ & & 4 & 1 & \\ \ vdots & & 0 & 4 & \\ \ Large0 & \ cdots & & & \ \ end {pmatrix} [/ math].

Ahora puede codificar la matriz, simplemente escriba algunos enteros aleatorios en una matriz [matemática] 5 \ veces5 [/ matemática] [matemática] P [/ matemática] (asegúrese de que sea reversible) y observe la matriz [matemática] P \ Delta P ^ {- 1} [/ matemáticas].

Solución 2

Lo mismo pero [math] \ alpha_1 = 2, \ alpha_2 = 3 [/ math] produce:

[matemáticas] \ Delta ‘= \ begin {pmatrix} 4 & & & \ cdots & \ Large0 \\ & 4 & & & \ vdots \\ & & 4 & & \\ \ vdots & & & 1 & 1 \\ \ Large0 & \ cdots & & 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]

Answer 3

Recuerde que cada matriz simétrica real [matemática] S [/ matemática] puede escribirse como [matemática] Q \ Lambda Q ^ T [/ matemática] donde las matrices [matemática] Q [/ matemática] y [matemática] \ Lambda [/ matemáticas] tienen propiedades que te ayudarán aquí.

Answer 4

Aquí hay uno:
3 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 0 x

donde x puede ser cualquier cosa.
El orden de los valores propios a lo largo de la diagonal se puede barajar arbitrariamente.