Cómo explicar intuitivamente el hecho de que el bidual de un espacio vectorial de dimensiones infinitas es mayor que el espacio vectorial en sí

Answer 1

Es una pregunta muy profunda de hecho. Tengo que admitir que no puedo dar ninguna explicación intuitiva que sea más simple que una reducción a alguna teoría básica de conjuntos.

Para hacer la pregunta lo más cercana posible a la teoría de conjuntos, limitemos nuestra atención al caso de un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] sobre el campo [matemático] \ mathbb {F} _2 [/ matemático] de dos elementos. Si mi memoria no me traiciona, es un viejo resultado de Paul Eklof que la existencia de una base en un espacio vectorial arbitrario sobre [math] \ mathbb {F} _2 [/ math] es equivalente al Axioma de Elección (es fácil en una dirección: el Axioma de Elección, en forma de Zorn Lemma, implica la existencia de una base. Entonces, aceptemos, y dejemos que [matemáticas] B [/ matemáticas] sea una base en [matemáticas] V, [/ math] lo que significa que cada [math] v \ en V [/ math] se define por su soporte en [math] B [/ math], que es, por el conjunto (finito) de elementos en [math] B [/ math] que suman [math] v [/ math]. Por lo tanto, [math] V [/ math] tiene la misma cardinalidad que el conjunto de subconjuntos finitos de [math] B [/ math]; if [math ] B [/ math] es infinito, por lo que es fácil demostrar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de [math] B [/ math] tiene la misma cardinalidad que [math] B, [/ math] por lo tanto [math] V [/ math] tiene la misma cardinalidad que [math] B [/ math].

Ahora veamos el espacio dual [matemático] V ^ * [/ matemático], es decir, el conjunto de todos los funcionales lineales [matemático] \ alpha: V \ to \ matbb {F} _2 [/ matemático]. Cada [matemática] \ alpha [/ matemática] está determinada únicamente por su soporte en [matemática] B [/ matemática], es decir, por el conjunto [matemática] \ {\, b \ en B \ mid \ alpha (b) = 1 \, \} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] V ^ * [/ math] está en correspondencia uno a uno con el conjunto 2 ^ B de todos los subconjuntos en [math] B [/ math]. Pero es un resultado clásico de Cantor que [matemática] 2 ^ B [/ matemática] tiene una cardinalidad mayor que [matemática] B [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] V ^ * [/ matemática] tiene una cardinalidad mayor que [matemática] V [/ matemáticas]. Por supuesto, la cardinalidad de la [matemática] V ^ {**} [/ matemática] es aún mayor.

El caso de un campo arbitrario [matemática] F [/ matemática] puede manejarse de manera similar, pero tendremos que tratar con la cardinalidad del conjunto [matemática] F ^ B [/ matemática].

¿Es esto intuitivo? Bueno, es intuitivo para mí porque fue el primer pensamiento que cruzó por mi mente. Pero no soy un conjunto de teóricos y no tengo idea de si se puede probar lo mismo sin el Axioma de Elección. Además, el término “espacio vectorial de dimensiones infinitas es ambiguo: ¿significa” un espacio vectorial sin una base finita “o” un espacio vectorial con una base infinita “? ¿Y puede llamarse intuitivo algo que implique íntimamente el Axioma de elección?

Answer 2

Bueno, el dual de un espacio vectorial de dimensión infinita ya es más grande que el espacio original, por lo que, por supuesto, el dual del dual será aún más grande. (El término en inglés para un espacio vectorial es un “espacio vectorial”, en lugar de un “espacio vectorial”).

Para ver que el dual es más grande, tome algunas bases [math] \ beta [/ math] para su espacio vectorial V. Los elementos de V consisten en sumas finitas de la forma [math] \ lambda_1 e_1 + \ cdots + \ lambda_n e_n [/ math], donde el [math] e_i \ in \ beta [/ math]. Por otro lado, V * contiene todo de la forma [math] \ sum_ {e \ in \ beta} c_e e ^ \ ast [/ math]: evaluar un dispositivo de este tipo en un elemento de V aún producirá una suma finita, ya que solo finitly [math] e_i [/ ​​math] aparecen en cualquier elemento dado de V.

Cuando la base es finita, por supuesto, no hay diferencia entre una suma finita y una arbitraria. Sin embargo, cuando es infinito, los conjuntos tienen diferentes cardinalidades.