¿Se pueden reducir todas las matrices mediante el método de eliminación de Gauss?

Answer 1

Sí, puede aplicar operaciones de fila para convertir cada matriz [math] m \ times n [/ math] en forma escalonada reducida. Además, hay una y solo una forma escalonada reducida para cada matriz.

Las operaciones son anteriores a Gauss y Jordan cuyos nombres están asociados a ellos. Fueron utilizados por los antiguos chinos para resolver ecuaciones lineales simultáneas. Probablemente se descubrieron de forma independiente en varios momentos y lugares, ya que son bastante intuitivos.

Hay tres operaciones de fila elementales:

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplica o divide una fila por una constante distinta de cero.
3. Sumar o restar un múltiplo de una fila de otra.

Si las filas de una matriz son los coeficientes en una ecuación lineal, estas tres operaciones corresponden a 1) intercambiar ecuaciones, 2) multiplicar o dividir una ecuación por una constante distinta de cero y 3) sumar o restar un múltiplo de una ecuación de otra. Ninguna de estas operaciones cambia el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Puede realizar estas operaciones en el orden que desee. Por lo general, trabaja columna por columna desde la izquierda dos hacia la derecha y dentro de una columna de arriba a abajo, pero si lo hace a mano, a menudo puede ver accesos directos. Cuando termine, tendrá una matriz con las siguientes propiedades:

1. Las filas de todos los ceros (si los hay) aparecen en la parte inferior de la matriz.
2. la primera entrada distinta de cero de una fila distinta de cero es [matemática] 1 [/ matemática].
3. que aparece [matemática] 1 [/ matemática] aparece a la derecha de los 1 iniciales en las filas superiores.
4. todas las otras entradas en una columna que tiene una [matemática] 1 [/ matemática] inicial son [matemática] 0 [/ matemática].

Se dice que una matriz con tales propiedades está en forma escalonada reducida. Una matriz dada tiene una forma escalonada reducida única.

Answer 2

Sí, siempre se pueden reducir a su forma escalonada de fila reducida mediante operaciones de fila elementales. Deje que [math] A_ {m \ times n} [/ math] sea la matriz. Deje que la columna [math] j [/ math] -th sea la primera columna en la matriz desde la izquierda que tiene un elemento distinto de cero. Deje que el elemento [math] i [/ math] -th de la parte superior de la columna j-th sea el primer elemento distinto de cero en él y deje que [math] a_ {i, j} = k [/ math]. Hacemos una operación de cambio de fila: [math] \ rho_1 \ leftrightarrow \ rho_i [/ ​​math] para llevar la fila [math] i [/ math] -th a la parte superior. Multiplicamos la nueva primera fila por [math] k ^ {- 1} [/ math]. Luego, usamos esta fila para eliminar todos los elementos distintos de cero de la columna [math] j [/ math] -th de la matriz. Llame a la matriz reducida [math] \ hat {A} _ {m \ times n}. [/ Math]

Finalmente, consideramos la matriz [math] B _ {(m – 1) \ times (n – j)} [/ math] que es el menor de [math] \ hat {A} [/ math] obtenido al eliminar el primer [ math] j [/ math] columnas y la primera fila. Repetimos las operaciones anteriores en [math] B [/ math]. Hacemos esto de forma recursiva. El algoritmo termina bajo las siguientes condiciones:

• O bien, nos quedamos con una matriz cero, o
• nos queda una matriz que tiene un solo elemento.

Dado que después de cada iteración, el menor que obtuvimos tiene un número menor de filas y columnas que en la iteración anterior, el algoritmo debe terminar en un número finito de pasos.