¿La evolución en el espacio de Hilbert de dimensión finita es siempre periódica?

Answer 1

Pregunta : ¿La evolución en el espacio de Hilbert de dimensión finita es siempre periódica?

Pues no siempre.

Siempre puedes comenzar con un estado propio del hamiltoniano y quedarte allí todo el tiempo.

Pero, por supuesto, ese es un contraejemplo trivial y estoy seguro de que estaba hablando de un escenario más general.

En general, para los hamiltonianos independientes del tiempo en dimensiones finitas , supongo que la respuesta es SÍ.

Considere el siguiente argumento, el Hamiltoniano para un sistema dimensional finito [matemático] n [/ matemático] es una matriz simétrica [matemática] nxn [/ matemático] y, por lo tanto, diagonalizable. Toma estos vectores propios como la base de su sistema y expresa un estado general en esta base. Ahora, si tomas una superposición inicial de estos estados propios con algunas amplitudes y las evolucionas a tiempo, entonces puedes observar algo así como un ciclo Rabi.

Tomemos, por ejemplo, un sistema de dos niveles con estados propios [math] | 1 \ rangle [/ math] y [math] | 2 \ rangle [/ math]. Si comienza con un estado de superposición inicial, diga:

[matemáticas] {\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ frac { 1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}} [/ math]

Al resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria, el estado después del tiempo t viene dado por [math] {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {\ frac {-iEt} {\ hbar}} | \ psi (0) \ rangle} [/ math], con energía total del sistema [math] {\ displaystyle E} [/ math].

Entonces el estado después del tiempo t es:

[matemáticas] {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {\ frac {-iE _ {+} t} {\ hbar}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} | 1 \ rangle + e ^ {\ frac {-iE _ {-} t} {\ hbar}} {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} | 2 \ rangle} [/ math].

Ahora, uno puede calcular las módulos al cuadrado del producto interno de este estado con los estados propios [math] | 1 \ rangle [/ math] y [math] | 2 \ rangle [/ math] y mostrar que esta probabilidad de estar en el estados [matemática] | 1 \ rangle [/ matemática] y [matemática] | 2 \ rangle [/ matemática] oscila sinusoidalmente.

Similar es el caso para N. más grande pero finito

Ahora la pregunta más importante de por qué sucede esto.

Bueno, una manera simple de ver esto es que la evolución del tiempo en la mecánica cuántica se rige por operadores unitarios como [math] e ^ {\ frac {-iHt} {\ hbar}} [/ math] y los operadores unitarios son como operadores de rotación en espacio complejo Por lo tanto, tiene sentido que para dimensiones finitas, el sistema siga evolucionando periódicamente.

¡Paz!

Answer 2

Depende un poco de cómo se defina el periódico, pero en general diría que no, no es cierto en general que la evolución en un espacio de Hilbert de dimensión finita sea periódica.

Limitemos nuestra discusión a los hamiltonianos independientes del tiempo en la imagen de Schrodinger para que la evolución temporal del estado sea

[matemáticas] | \ psi \ rangle = e ^ {- itH} | \ psi_0 \ rangle [/ matemáticas].

Ahora esto parece periódico, pero [math] H [/ math] es un operador, por lo que debemos pensar en su espectro. Descompongamos [math] | \ psi \ rangle [/ math] en la base de estados propios de energía [math] | E \ rangle [/ math] multiplicando por el operador de unidad [math] 1 = \ sum_E | E \ rangle \ langle E | [/ matemáticas]. (Tenga en cuenta que podemos multiplicar por [matemáticas] 1 [/ matemáticas] en cualquier parte de la ecuación. Haré esto dos veces).

[matemáticas] \ sum_E | E \ rangle \ langle E | \ psi \ rangle = e ^ {- itH} \ sum_E | E \ rangle \ langle E | \ psi_0 \ rangle [/ math]

[matemáticas] = \ sum_E e ^ {- itE} | E \ rangle \ langle E | \ psi_0 \ rangle [/ math]

[math] \ langle E | \ psi \ rangle [/ math] es solo un número (complejo) y es una función del tiempo ya que [math] | \ psi \ rangle [/ math] es una función del tiempo. Llámelo [math] a_E [/ math], es solo el coeficiente de [math] | \ psi \ rangle [/ math] en la descomposición espectral. Tome el producto interno de esta ecuación con [math] \ langle E ‘| [/ math] y use orto-normalidad para obtener

[matemáticas] a_ {E ‘} = e ^ {- itE’} a_ {E ‘, 0} [/ matemáticas]

[matemáticas] | \ psi \ rangle = \ sum_E e ^ {- itE} a_ {E, 0} | E \ rangle [/ math]

Claramente, cada componente del estado en la base de energía eigen evoluciona periódicamente, pero no hay nada que garantice que los períodos de los componentes sean proporcionales. Por ejemplo, en un sistema de dos estados, los períodos pueden ser [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática]. [math] | \ psi \ rangle [/ math] nunca vuelve a su valor original [math] | \ psi_0 \ rangle [/ math], aunque se acercará arbitrariamente.

PERO ESPERE, usted dice que solo importan las probabilidades y los valores de expectativa. Esto se refleja en el hecho de que [matemáticas] | \ psi \ rangle [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle [/ matemáticas] representan el mismo estado para [matemáticas] \ theta [ / matemáticas] real. Esto nos da un grado de libertad para trabajar. En un sistema de dos estados, siempre podemos factorizar una fase general [math] e ^ {it \ frac {E_1 + E_2} {2}} [/ math] para que los períodos de los dos componentes del vector de estado sean igual (uno con frecuencia positiva y otro con negativo). (Esto es equivalente a “volver a poner a cero” la energía restando una constante del Hamiltoniano [matemáticas] H \ mapsto H- \ frac {E_1 + E_2} {2} 1 [/ matemáticas]) Entonces, la evolución de un dos- El sistema estatal con un Hamiltoniano independiente del tiempo es periódico. El mismo truco no se puede hacer en general con un sistema n-state donde [math] n> 2 [/ math].