Cómo demostrar que cada espacio vectorial tendrá una base

Answer 1

Para espacios vectoriales generales, debe usar el Axioma de elección (o, más útil, el lema de Zorn).

Considere el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de vectores de su espacio. Tiene un orden parcial natural: pensamos en un subconjunto de vectores como “más grande” si contiene otro subconjunto de vectores. Ahora, verifique que se apliquen los requisitos del lema de Zorn. A saber:

1. Este conjunto no está vacío. Esto es cierto, ya que al menos contiene el conjunto [math] \ {0 \} [/ math].
2. Cada subconjunto ordenado linealmente tiene un elemento máximo . Esto también es cierto, ya que si tiene una torre de subconjuntos linealmente independientes, puede simplemente tomar la unión de todos estos subconjuntos para obtener un subconjunto linealmente independiente que los contenga a todos.

Por lo tanto, según el lema de Zorn, debe haber un elemento máximo, es decir, un subconjunto linealmente independiente que no esté contenido adecuadamente dentro de ningún otro subconjunto linealmente independiente.

Comprobar que esto es una base, y que cualquier otra base tendrá la misma cardinalidad se deja como ejercicios para el lector.