El espectro propio de este hamiltoniano está relacionado con el del oscilador armónico cuántico estándar. Para ver esto, tenga en cuenta que el hamiltoniano se puede factorizar como,
[matemáticas] H = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2 \ psi} {dx ^ 2} + \ frac12m \ omega ^ 2 \ left (x + \ frac {\ lambda} {m \ omega ^ 2} \ right) ^ 2 – \ frac12 \ frac {\ lambda ^ 2} {m ^ 2 \ omega ^ 4}. [/ math]
Dado que los factores constantes son irrelevantes al calcular la energía, este hamiltoniano le da una física idéntica a,
[matemáticas] H = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2 \ psi} {dx ^ 2} + \ frac12m \ omega ^ 2 \ left (x + \ frac {\ lambda} {m \ omega ^ 2} \ right) ^ 2. [/ math]
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Este es solo el oscilador armónico estándar con la traducción [math] x \ to x + \ lambda / m \ omega ^ 2. [/ Math] Por lo tanto, esto es equivalente a una partícula atrapada en un potencial armónico centrado en [math] – \ lambda / m \ omega ^ 2. [/ math]