¿Cómo se determina que los vectores duales son covariantes versus contravariantes?

No estoy seguro de entender su pregunta correctamente, pero pensé en intentarlo. Puede ser que lo que le confunde es el hecho de que el posicionamiento del índice en los vectores base y los componentes del vector es todo lo contrario . Es decir, los vectores de bases contravariantes están etiquetados con subíndices, de modo que en su ilustración, esta base es [math] \ {e_1, e_2 \} [/ math], mientras que la base dual de esto es una base de vectores covariantes etiquetados por superíndices, es decir, [matemáticas] \ {e ^ 1, e ^ 2 \} [/ matemáticas]. Por cierto, me parece que los componentes covariantes del vector [matemática] X [/ matemática] en su ilustración están fuera de lugar, y deberían estar como se muestra en la figura a continuación, pero tal vez simplemente no estoy viendo las cosas claramente en su ilustración.

En cualquier caso, el vector se escribiría en términos de sus componentes contravariantes en la base [math] \ {e_1, e_2 \} [/ math] como

[matemáticas] \ displaystyle X = X ^ 1 \, e_1 + X ^ 2 \, e_2, [/ math]

pero en términos de sus componentes covariantes en la base [math] \ {e ^ 1, e ^ 2 \} [/ math] como

[matemáticas] \ displaystyle X = X_1 \, e ^ 1 + X_2 \, e ^ 2, [/ math]

entonces el índice de posicionamiento de los componentes es el esperado. Que yo sepa, el posicionamiento de los índices básicos es una cuestión de convención, nada más y nada menos.

EDITAR. Puede que me esté perdiendo el punto de su pregunta, que parece depender de esta pregunta retórica y respuesta: “¿Cómo podrían estos componentes ser covariantes? Utilizan la base dual covariante en su definición, pero su transformación debe ser contravariante ”. ¿Le preocupa cómo, por ejemplo, los componentes covariantes cambian bajo un cambio de base de la base covariante a la base contravariante? Para esto, tendría que saber más sobre la orientación de los vectores de base y, lo que es más importante, cómo se define la base covariante en términos de la base contravariante (en el plano euclidiano, a veces se requiere que [matemáticas] e ^ i \ cdot e_k = \ delta ^ i _ {\, k}, [/ math] donde [math] \ delta ^ i _ {\, k} [/ math] es el delta de Kronecker y [math] \ cdot [/ math] es el habitual producto escalar o de puntos). Quizás podría aclarar sus preocupaciones en un comentario.