¿Por qué la notación para vectores no es explícita sobre los vectores base que está usando?

Answer 1

Porque uno puede trabajar con vectores sin ninguna base. Por ejemplo, si agrega dos vectores de forma rotativa, es lo mismo que agregarlos en su base original.

Formalmente, los vectores son simplemente “cosas que puedes sumar y multiplicar por números”. Un ejemplo de un espacio vectorial que no son solo las secuencias que has proporcionado es el conjunto de polinomios cúbicos (y de orden inferior): la suma de dos polinomios cúbicos es un polinomio cúbico y multiplicar un polinomio cúbico por una constante da un polinomio cúbico.

Ahora, sabes qué (2x ^ 3 + 7) + (3x ^ 3 + 2x ^ 2). Ahora, ¿importa si nuestros vectores base son (1, x, x ^ 2, x ^ 3) o (1, x, (3x ^ 2–1) / 2, (5x ^ 3–3x) / 2), los monomios o los polinomios de Legendre? Por supuesto no; A la suma no le importa.

Aunque una base es conveniente para el cálculo, no es, en un sentido teórico, necesaria. Incluso en el espacio ordinario, puede elegir una base de coordenadas diferente (por ejemplo, “gire la cabeza” para ver el mundo desde un ángulo diferente), pero si agrega los dos vectores en las dos bases diferentes, obtendrá el mismo resultado (arriba al cambio de base).

En otras palabras, si dejas que F sea un cambio de base, entonces tenemos que F (v + w) = F (v) + F (w), es decir, a la suma realmente no le importa el cambio de coordenadas (en en particular, si se hace antes o después, y por lo tanto todos los cálculos se pueden hacer en cualquier sistema de coordenadas de manera equivalente).

Answer 2

Las ecuaciones que expresan relaciones entre vectores son verdaderas en cualquier sistema de coordenadas. Por lo tanto, no necesita ser explícito sobre el sistema de coordenadas, y por lo tanto los vectores de base, que está utilizando si solo está interesado en las relaciones entre los vectores que expresan las ecuaciones.

Sin embargo, si está interesado en la magnitud (longitud) y la dirección de un vector en particular en un sistema de coordenadas específico , entonces necesita conocer los componentes reales del vector en un sistema de coordenadas dado, y también las reglas para transformar los componentes en ese sistema de coordenadas en componentes correspondientes en el sistema de coordenadas que le interesa.

Como ejemplo, si un vector se define en términos de componentes en un sistema de coordenadas polares y desea conocer los componentes del vector en un sistema de coordenadas cartesianas (rectilíneas), necesitará un conjunto de transformaciones que mapearán los componentes del vector en el sistema de coordenadas polares en los componentes equivalentes en el sistema de coordenadas cartesianas. Además, si las coordenadas polares están unidas a un marco de referencia que se encuentra en un estado de movimiento conocido relativo al marco de referencia al que están unidas las coordenadas cartesianas, también necesitará las transformaciones para tener en cuenta este movimiento relativo.

Los vectores en realidad pertenecen a una clase más grande de objetos matemáticos llamados tensores [1]; específicamente, los vectores son tensores de rango 1 . Un objeto se define como un tensor si cumple con la ley de transformación de tensor, que describe cómo los componentes de ese objeto se asignan de un sistema de coordenadas o marco de referencia a otro. El poder y la belleza de los tensores es que una ecuación que expresa una relación entre tensores no necesita referirse a un sistema de coordenadas o marco de referencia particular, ¡porque es cierto en todos los sistemas de coordenadas y marcos de referencia!

Es por eso que Einstein eligió expresar la Relatividad General [2] en el lenguaje de los tensores. Bueno, eso y el hecho de que los tensores también son una herramienta muy elegante, concisa y poderosa para hacer geometría diferencial [3] (esencialmente, cálculo en superficies curvadas arbitrariamente), y la Relatividad General es básicamente un ejercicio elaborado en geometría diferencial, donde la geometría en cuestión es la del espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Y esta es también la razón por la cual los tensores (vectores o tensores de rango superior) son omnipresentes en las matemáticas de la física moderna.

[1] Tensor – Wikipedia

[2] Relatividad general – Wikipedia

[3] Geometría diferencial – Wikipedia

Answer 3

Lo que encuentro confuso es la dependencia explícita de cualquier conjunto particular de vectores de base. Prefiero escribir [math] \ mathbf {v} [/ math] y no pensar en ello como [math] \ mathbf {v} = [a, b] = a \ mathbf {\ hat {i}} + b \ mathbf {\ hat {j}} [/ math]. Claro, usaré [matemáticas] a, b [/ matemáticas] si es necesario, pero ¿por qué molestarse hasta entonces? De manera similar, prefiero pensar en [math] T \ mathbf {v} [/ math] que pensar en [math] aT \ mathbf {\ hat {i}} + bT \ mathbf {\ hat {j}} [/ math ] Prefiero trabajar en el problema tanto como sea posible, y conectar los vectores de base apropiados al final para obtener una respuesta real. Trabajar sin referencia a ninguna base se llama “sin coordenadas”, y lo prefiero, cuando sea posible.

Por un lado, y su ejemplo es bueno para esto, gran parte del trabajo con la notación [math] [a, b] [/ math] para vectores supone que los vectores base (implícitos) son agradables, generalmente ortonormales. Si los vectores base son ortonormales, entonces [math] \ mathbf {v} = [v_1, v_2], \ mathbf {u} = [u_1, u_2] [/ math], entonces [math] \ mathbf {v \ cdot u} = v_1u_1 + v_2u_2 [/ math]. Pero eso no se cumple si los vectores base no son ortonormales. Si [math] \ mathbf {\ hat {i}}, \ mathbf {\ hat {j}} [/ math] es una base ortonormal, entonces (suponiendo que [math] T [/ math] es no singular) [math] T \ mathbf {\ hat {i}}, T \ mathbf {\ hat {j}} [/ math] es una base, pero no necesariamente ortonormal. Si fuera necesariamente ortonormal, llegaría a la conclusión de que [math] T \ mathbf {v \ cdot} T \ mathbf {u} = \ mathbf {v \ cdot u} [/ math]. En realidad, esa condición es equivalente a decir que la transformación [matemática] T [/ matemática] conserva ángulos y distancias, por lo que sería una transformación ortogonal, una clase importante de transformaciones, pero no universal.

En su mayor parte, los aspectos importantes del álgebra lineal son independientes de la base, por lo que no es importante especificar qué base se está utilizando.

Aparte de eso, puede ser útil estar dispuesto y ser capaz de transformarse de una base a otra cuando sea deseable. Muchas de las descomposiciones estándar y la diagonalización de las transformaciones lineales son simplemente cambios de base a una forma conveniente, donde la transformación es más fácil de manejar (los vectores propios de unidades independientes de una transformación forman una base ortonormal conveniente, por ejemplo). Por lo tanto, puede ayudar no preocuparse demasiado por la base en la que está trabajando, si corresponde.

Answer 4

Porque lo hermoso es que a muchas cosas no les importa tu base en absoluto.

De hecho, si algo requiere una base para calcular los criterios para que sea una definición aceptable, es que el resultado es independiente de la base.

Tampoco se requieren bases para muchos teoremas y definiciones y, en el caso de espacios vectoriales infinitamente infinitos, también sería bastante infructuoso.