Cómo calcular integral si se da el campo vectorial

Answer 1

Creo que lo que quieres calcular es:

[matemáticas] \ displaystyle \ oint_F \ mathbf {a}. \ mathrm {d} \ mathbf {n} [/ math]

donde [math] \ mathrm {d} \ mathbf {n} [/ math] es el vector de área elemental en un punto de la superficie [math] F [/ math] dirigido normal a la superficie. El área [matemática] F [/ matemática] es básicamente la superficie del cilindro apoyada sobre un cuarto de círculo en el primer cuadrante del plano [matemático] XY [/ matemático].

El vector normal de superficie es normal al eje [matemático] Z [/ matemático] en todo momento y, por lo tanto, el componente [matemático] z [/ matemático] del campo vectorial es superfluo para el problema. Tomemos la sección transversal de la región, cuando se secciona por un plano paralelo al plano [matemático] XY [/ matemático].

El área elemental mide [math] 3 \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {dz} [/ math]. El vector unitario normal a la superficie en [math] P [/ math] es [math] \ cos \ theta \ mathbf {i} + \ sin \ theta \ mathbf {j} [/ math]. Así,

[matemáticas] \ displaystyle \ oint_F \ mathbf {a}. \ mathrm {d} \ mathbf {n} \ equiv \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} 3a_x \ cos \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} {z} + \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} 3a_y \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} { z} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 6 \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ sin \ theta – \ cos \ theta) \ cos \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm { d} {z} + 3 \ int_0 ^ 2 \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} z \ sin ^ 2 \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} {z} [/ math ]

Creo que podría evaluar fácilmente las integrales anteriores.

Answer 2

Tiene una superficie cerrada, así que use el teorema de divergencia.