Configuramos det [math] (A- \ lambda I) = 0 [/ math], [math] A = \ left [\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \ end {matrix} \ right] [/ matemáticas]. Luego, [math] \ begin {vmatrix} (1- \ lambda) & 1 & 1 \\ 0 & (1- \ lambda) & 1 \\ 0 & 0 & (1- \ lambda) \ end {vmatrix} = 0 [/ math], o [ matemáticas] (1- \ lambda ^ {3}) = 0 [/ matemáticas], o [matemáticas] \ lambda = 1,1,1 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] A- \ lambda I = \ izquierda [\ begin {matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {matrix} \ right] [/ math] diciéndonos que el rango de [math] A- \ lambda I [/ math] es [math] 2 [/ math]. Los vectores propios se obtienen resolviendo la ecuación [math] (A- \ lambda I) \ vec {x} = 0 [/ math], donde [math] \ vec {x} [/ math] es [math] \ left [ \ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix} \ right] [/ math]. Entonces, el número de incógnitas es [matemáticas] 3 [/ matemáticas] mientras que el rango es [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Esto significa que el número de vectores propios linealmente independientes es [matemática] 1 [/ matemática]. Respuesta: (b).
Al resolver la ecuación [math] (A- \ lambda I) \ vec {x} = 0 [/ math], el vector propio [math] \ vec {x} [/ math] que se obtiene es [math] \ left [ \ begin {matrix} a \\ 0 \\ 0 \ end {matrix} \ right] [/ math], donde [math] a [/ math] es un número arbitrario.