Si los operadores lineales no tuvieran una matriz correspondiente, ¿eso significaría que no habría una forma sensata de agregar dos operadores lineales?

Answer 1

La respuesta de Daniel aborda bien los operadores lineales en espacios vectoriales de dimensiones finitas. Solo quiero señalar que para espacios vectoriales sin bases finitas, todavía hay buenos ejemplos para la adición significativa de operadores lineales.

Uno de esos espacios es el espacio de funciones reales infinitamente diferenciables f: R-> R. (Puede verificar que este es un espacio vectorial; por ejemplo, si tiene dos vectores f y g, su suma f + g también es un vector, también lo es la negación -f, etc.)

Un operador lineal es la diferenciación; otro es la integración (en particular, genera una antiderivada específica). La suma es solo un operador lineal que toma una función y genera una nueva función que es la suma de la derivada y la anti derivada de la función anterior.

En este caso, ninguno de los operadores puede representarse con matrices, pero todavía hay una manera fácil de sumarlos debido a la propiedad que Daniel señaló sobre los operadores lineales.

Answer 2

La representación de operadores lineales con matrices no interfiere en los propios operadores, simplifica su representación, pero no interfiere en lo que son los operadores lineales. Por lo tanto, agregar dos operadores lineales aún sería posible sin correspondencia con las matrices.

Answer 3

No está claro qué hacer con esta pregunta, exactamente. Que los operadores lineales se pueden agregar entre sí se deduce inmediatamente de las definiciones: puede verificar que si L_1 y L_2 son operadores lineales, entonces también lo es

[matemáticas] (L_1 + L_2): = v \ mapas a L_1 (v) + L_2 (v) [/ matemáticas]

También se desprende de las definiciones que cada espacio vectorial tiene una base, y siempre que tenga una base puede definir la matriz de una transformación lineal

Supongo que si amplía su noción de lo que constituye la “teoría de conjuntos” hasta el punto de que tiene espacios vectoriales sin bases (es decir, si trabaja sin el axioma de elección), tendría operadores lineales sin matrices. Pero, por supuesto, aún podría agregarlos.