¿La ortogonalidad en la serie de Fourier tiene algo que ver con la ortogonalidad en álgebra lineal?

Answer 1

Sí mucho así.

En el Álgebra lineal introductoria, trabaja con espacios vectoriales de dimensiones finitas, cuyos elementos se pueden representar como una combinación lineal de un número finito de elementos básicos. Estos espacios vectoriales tienen un producto interno natural definido, también conocido como producto de punto o producto escalar. Este producto interno da la noción de “ángulo” entre dos objetos. Si el producto interno es cero, decimos que son ortogonales.

Puede tener espacios vectoriales dimensionales infinitos, como ciertos tipos de espacios de funciones.

Una serie de Fourier es una descomposición de una función en sus elementos básicos, funciones trigonométricas. Cada coeficiente se calcula por el producto interno de nuestra función con esa función base particular.

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial equipado con un producto interno, que se completa bajo límites. Álgebra lineal y las series de Fourier son solo casos especiales del estudio de los espacios de Hilbert.

Si está interesado en esta línea de pensamiento, eche un vistazo al Análisis funcional.

Answer 2

Si. Lo que debe hacer es generalizar el concepto de un vector. En general, un vector es una colección finita de números, donde cada número representa una coordenada a un punto dado en un espacio N-dimensional. Hablando libremente, una función continua puede ser como una colección infinita de números, donde cada punto representa una coordenada a un punto dado en un espacio dimensional [matemático] \ infty [/ matemático]. Por ejemplo, la imagen tiene una función dada [matemáticas] f (x) [/ matemáticas], con [matemáticas] x [/ matemáticas] un número real. Luego discretiza su dominio considerando solo [math] x_n = \ delta n [/ math] con [math] n [/ math] un número entero. Eso significa que su función ahora es una colección discreta del punto [math] f (x_n) [/ math] para que pueda escribirse usando la notación habitual para el vector [math] (\ dots, f (x_ {n-1}, f ( x_ {n-1}, \ dots) [/ math] y como puedes ver es un vector con tamaño infinito. Si tienes dos funciones [math] f (x_n) [/ math] y [math] g (x_n) [/ math] y calcule su “producto punto” tendrá algo como esto [math] \ langle f_n | g_n \ rangle \ equiv \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} f (x_n) g ( x_n) [/ math] pero debido a que las funciones tienen un dominio continuo en lugar de uno discreto, no define el producto punto como una suma sino como una integral [math] \ langle f | g \ rangle \ equiv \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dx f (x) g (x) dx. [/ math] Un último comentario importante es que al igual que puedes proyectar vectores desde un espacio 3D a un 2D y definir una base allí, puedes considerar diferentes dominios para definir sus vectores, por ejemplo, una definición general para un producto de punto sería así [matemáticas] \ langle f | g \ rangle \ equiv \ int_ {a} ^ b dx w (x) f (x) g (x ) dx [/ math] donde [ma th] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​dos números arbitrarios y [math] w (x) [/ math] es una función de peso dada que establece un peso diferente para cada punto del dominio. Ahora que tiene la definición de producto de punto, estoy seguro de que puede entrenar y comprender cómo puede definir una norma de función y una base ortogonal. Los fundamentos matemáticos para esta extensión son el espacio de Hilbert y Banach en caso de que desee buscar más información.

Answer 3

Debería echar un buen vistazo en un libro de Álgebra lineal, por ejemplo, Hoffman / Kunze’s. Su visión de los vectores se ha limitado a vectores similares a flechas: elementos de R ^ n, mientras que un espacio vectorial va mucho más allá: matrices, funciones e incluso números pueden verse como elementos de un espacio vectorial. En el caso de las funciones trigonométricas { 1 = cos (0.x), sen (1.x), cos (1.x), sen (2.x), cos (2.x), … }, constituyen un espacio vectorial de dimensión infinita, y este conjunto está dotado de un producto interno, que es lo único necesario para definir la ortogonalidad.

Intenta ampliar tu mente: los ángulos rectos son solo una versión de la ortogonalidad, vinculada a un tipo específico de vectores.

Answer 4

Si lo hace

Las propiedades de ortogonalidad hacen que las funciones trigonométricas sirvan como una especie de ‘sistema de coordenadas’ sobre el espacio de función cuadrado integrable [matemática] L_2 [0, 2 \ pi] [/ matemática] ([matemática] [0, 2 \ pi] [ / math] es el espacio de fase de las funciones periódicas). Cada función, en este espacio, puede ser representada por una combinación lineal (infinita) de funciones trigonométricas.

Tal espacio de ‘vector’ (función) que es de dimensión infinita, pero completo (esto es un poco difícil de visualizar) se llama Espacio de Hilbert.

Answer 5

La serie de Fourier consta de funciones exponenciales complejas.

Puede visualizar exponenciales complejos para que sean ortogonales. Es un poco difícil, pero siempre puede intentarlo.

Debería poder sentarse en una habitación tranquila, apagar las luces y VISUALIZAR lo que significa que dos exponenciales complejos sean ortogonales.

Si no puede hacerlo, escriba de nuevo, agregaré más detalles para aliviar su carga.