La representación más general es:
[matemáticas] \ vec {a} = \ sum_ {n = 1} ^ {n = N} a_i \ vec {x} _i = a_1 \ vec {x} _1 + a_2 \ vec {x} _2 + a_3 \ vec { x} _3 +… + a_N \ vec {x} _N = (a_1, a_2, a_3,… a_N) [/ math]
aquí [math] \ vec {x} _i [/ math] (a menudo también se usa la notación [math] \ vec {e} _i [/ math]) son los vectores unitarios (ortogonales) (solo para 3 dimensiones, en la física a menudo [math] \ vec {i} [/ math], [math] \ vec {j} [/ math] y [math] \ vec {k} [/ math] se usan, pero también puedes usar [math ] \ vec {x} [/ math], [math] \ vec {y} [/ math] y [math] \ vec {z} [/ math], aunque x, y y z a menudo son variables).
a_i son básicamente la longitud de cada componente de un vector para cada coordenada.
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Entonces [math] a_i \ vec {x} _i [/ math] es básicamente el componente i ^ {th} del vector [math] \ vec {a} [/ math]
La notación [math] (a_1, a_2, a_3,… a_N) [/ math] simplemente escribe las longitudes de los vectores unitarios omitiendo escribir cada vector [math] \ vec {x} _i [/ math] específicamente, haciendo Es un poco más compacto.
EJEMPLO:
Un vector en 3 dimensiones:
[matemáticas] \ vec {a} = 2 \ vec {x} _1 + 3 \ vec {x} _2 + 5 \ vec {x} _3 = (2, 3, 5) [/ matemáticas]
Gráficamente, el vector, como se ve en la imagen, se puede representar como una flecha desde el origen O hasta el punto P , que tiene las mismas coordenadas que el vector .
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Usando una notación aún más concisa y compacta, llamada notación de Einstein para sumas, también puede escribirla como:
[matemáticas] \ vec {a} = a_ix ^ i [/ matemáticas] (aquí el superíndice NO es un exponente, todavía es un índice … básicamente esto te dice que estás sumando sobre el índice i )
Esto se usa principalmente en matemáticas y física, que usa cálculo tensorial y escribir ecuaciones en forma de [matemáticas] \ vec {a} = \ sum_ {n = 1} ^ {n = N} a_i \ vec {x} _i [ / matemáticas] sería muy engorroso.
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Los vectores también se representan como vectores de columna y fila:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\… \\ a_N \ end {bmatrix} [/ math]
[matemáticas] \ begin {bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & … & a_N \ end {bmatrix} [/ math]
Estas dos representaciones se vuelven importantes al hacer álgebra lineal (multiplicación de vectores, multiplicación de matrices y vectores, etc.) y también mecánica cuántica (en la imagen de Heisenberg, que de hecho se llama Mecánica de matrices)