¿Es posible hacer operaciones de puntos en más de dos vectores?

Answer 1

No, pero tal vez sí.

Todo depende de cómo definas las cosas.

Un producto escalar de dos vectores es:

• Conmutativo, [math] \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a} [/ math]
• Bilineal, [matemáticas] (\ bf {a} + \ bf {b}) \ cdot \ bf {c} = \ bf {a} \ cdot \ bf {c} + \ bf {b} \ cdot \ bf {c } [/ math], [math] \ bf {a} \ cdot (\ bf {b} \ cdot \ bf {c}) = \ bf {a} \ cdot \ bf {b} + \ bf {a} \ cdot \ bf {c} [/ math]
• La bilinealidad implica que el producto punto con el vector cero es cero, [matemática] \ bf {0} \ cdot \ bf {a} = \ bf {a} \ cdot \ bf {0} = 0 [/ matemática]
• Produce un escalar, [matemáticas] \ Bbb {a} \ cdot \ Bbb {b} \ in \ Bbb {R} [/ matemáticas]
• Es “Definitivo positivo”: [matemáticas] \ bf {a} \ cdot \ bf {a} \ geq 0, \ bf {a} \ cdot \ bf {a} = 0 \ implica \ bf {a} = \ bf { 0} [/ matemáticas]

Es un caso especial de un “producto interno”, que tiene las mismas propiedades.

Dado que un producto de punto produce un escalar, es imposible aplicar un producto de punto a tres vectores [math] \ bf {a} \ cdot \ bf {b} \ cdot \ bf {c} [/ math] desde cualquier forma de agrupar eso resultaría en tratar de tomar el producto escalar de un vector y un escalar, que no es como se define el producto escalar.

Sin embargo, hay una generalización de productos de punto llamados tensores que pueden ayudar. Un tensor es una función multilineal de algunos números (posiblemente 0) vectores y algunos números (posiblemente 0) vectores duales que producen un escalar. Un tensor [matemático] T (\ bf {a}, \ bf {b}, \ bf {c}) [/ matemático] es lineal en cada uno de sus argumentos, expandiendo la bilinealidad del producto escalar a trilinealidad. Produce un escalar, que coincide con lo que hace el producto escalar. El término utilizado en los tensores para referirse a la misma propiedad que la conmutatividad es simetría , y podemos especificar que queremos que [math] T [/ math] sea simétrica en todos sus argumentos. Eso deja “Definitivo positivo”, y desafortunadamente [matemáticas] T [/ matemáticas] no puede ser positivo definido. La trilinealidad asegura que [matemáticas] T (\ bf {a}, \ bf {a}, \ bf {a}) = -T (- \ bf {a}, – \ bf {a}, – \ bf {a} ) [/ math] donde para ser positivo definido ambas partes tendrían que ser positivas.

Answer 2

Si por operación de punto te refieres a producto escalar (espero que en realidad se llame así en inglés): sí puedes, pero ten cuidado: no es asociativo ni conmutativo, y el resultado solo será escalar para números pares de vectores, multiplicados por pares.

Answer 3

Realmente no. El producto punto da como resultado un escalar (un número):

[matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ sum a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 +… + a_n b_n = \ alpha [/ matemáticas]

donde [math] \ alpha [/ math] es un número real (o complejo)

Ahora:

[matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ cdot \ vec {c} = (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) \ cdot \ vec {c} = \ alpha \ vec { c} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] \ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ cdot \ vec {c} = \ vec {a} \ cdot (\ vec {b} \ cdot \ vec {c}) = \ beta \ vec { a} [/ matemáticas]

… Así que obtienes un vector no escalar!

Sin embargo, puede multiplicar pares de vectores como este:

[matemática] ([/ matemática] [matemática] \ vec {a} \ cdot \ vec {b}) ([/ matemática] [matemática] \ vec {c} \ cdot \ vec {d}) = \ alpha \ beta = \ gamma [/ matemáticas]

Answer 4

Sí, amigo mío, es posible. Solo recuerde las propiedades de la operación de puntos, es decir, asociativa, distributiva y conmutativa. Ahora mira esto:

ABC = A. (BC) = (AB). C

No recuerdo cuál de los tres anteriores se sigue, pero se sigue con seguridad y lo tienes.

Puede ser que sea asociativo.