¿Cuál es la diferencia entre linealmente independiente y linealmente dependiente?

Answer 1

Es importante comprender el concepto de una combinación lineal. Una combinación lineal de un conjunto de vectores [matemática] v_1, …, v_n [/ matemática] es una suma de la forma [matemática] a_1 v_1 +… + a_n v_n [/ matemática]. La pregunta es cuándo es posible que una combinación lineal sea el vector cero. Siempre es posible obtener el vector cero configurando [math] a_1 =… = a_n = 0 [/ math]. Deje de lado esa posibilidad y considere en su lugar, cuándo es posible obtener el vector cero de otra manera (usando [math] a_1, …, a_n [/ math] al menos algunos de los cuales no son cero). Linealmente dependiente significa “sí, puedes”, linealmente independiente significa “no, no puedes”.

Entonces, por ejemplo, un solo vector [matemático] v_1 [/ matemático] que es linealmente dependiente significa que puede multiplicarlo por un escalar distinto de cero y obtener el vector cero. Esto solo es posible si comenzaste con el vector cero.

Si dos vectores son linealmente dependientes, [matemática] a_1v_1 + a_2v_2 = 0 [/ matemática] donde [matemática] a_1 [/ matemática] y [matemática] a_2 [/ matemática] no son ambos 0, podría ser porque uno de los vectores es el vector cero Si no, entonces debe ser que ni [math] a_1 [/ math] ni [math] a_2 [/ math] es cero, y podemos escribir [math] v_1 = – (a_2 / a_1) v_2 [/ math] o [math] v_2 = – (a_1 / a_2) v_1 [/ math], es decir, cada uno es un múltiplo del otro. O para decirlo de otra manera, los dos vectores están en una línea común a través del origen.

Para que tres vectores sean linealmente dependientes significa que están en un plano a través del origen.

En general, un conjunto finito de vectores es linealmente dependiente cuando hay un subespacio vectorial (que por definición incluye el origen) que los contiene, pero tiene una dimensión inferior al número de vectores. El subespacio de vector más pequeño que contiene un conjunto de vectores se llama su extensión. Tan linealmente independiente significa lo opuesto: que el tramo tiene una dimensión igual al número de vectores.

Answer 2

Independiente linealmente:

Los vectores se consideran linealmente independientes si su matriz aumentada [A | 0] proporciona solo la solución trivial x = 0. Y esto satisface cuando ningún vector es una combinación lineal de los otros vectores.

Por ejemplo:

De la fila de ejemplo anterior, reduzca la matriz aumentada [A | 0] y después de completar la sustitución de forma inversa obtendremos x = 0 y ningún vector es una combinación lineal de los otros vectores.

13 × 3 = 0 —-> x3 = 0

x2 + 4 × 3 = 0 —-> x2 = 0

x1 + 2 × 2-x3 = 0 → x1 = 0.

Veamos también esto

Linealmente dependiente:

Se considera que los vectores son linealmente dependientes si un vector es una combinación lineal o múltiplo de los otros vectores y la matriz aumentada [A | 0] proporciona la solución no trival.

Ejemplo

Espero que esto ayude.

Referencias Álgebra lineal y sus aplicaciones por David C Lay 4ta edición.

Y

Introducción al álgebra lineal con aplicaciones de Jim De Franza.

Answer 3

Comience con la definición formal.

Aquí hay algunos consejos adicionales para comprender mejor el concepto.

Por simplicidad, suponga que todos los vectores comienzan en el origen.

Si tiene tres vectores que están en el mismo plano, dependen linealmente porque cualquiera de los dos vectores es una combinación lineal de los otros dos. Los tres vectores están “aplanados”. De lo contrario, son linealmente independientes.

Cualesquiera cuatro vectores en un espacio tridimensional son linealmente dependientes.

Puede pensar en un conjunto de vectores linealmente independientes como aquellos que “ocupan completamente el espacio”, no “aplanados” a un espacio de menos dimensiones.