¿Cuál es la relación entre los operadores hamiltonianos y los vectores propios?

Answer 1

Los operadores actúan sobre un vector (también llamado estado o ket) y le dan otro vector. Los vectores propios son un conjunto especial de vectores para un operador dado, que cuando se actúa al devolver el mismo vector simplemente multiplicado por una constante (es decir, el vector no gira, solo se estira o encoge, pero aún se “apunta” en la misma dirección). Las constantes correspondientes se denominan valores propios.

En la mecánica cuántica, los operadores representan observables, y los valores propios de un operador corresponden a los valores que podría medir. El operador hamiltoniano representa la energía, por lo que sus valores propios son los posibles valores de energía que puede medir.

Entonces, cuando un estado es un Eigenstate / Eigenvector del Hamiltoniano, sabes que la energía que medirás es el valor propio correspondiente. La mayoría de las veces, un estado está desordenado y se encuentra en una superposición de muchos Eigenstates / eigenvectores de energía, y cuando realiza una medición de energía, colapsa en un Eigenstate de energía única. Aquí, cada coeficiente del Eigenstate de energía en la superposición inicial de estados le informa sobre las probabilidades de que termine en el Eigenstate correspondiente. O en términos matemáticos:

[matemática] \ psi_i = c_1 \ psi_ {E1} + [/ matemática] [matemática] c_2 \ psi_ {E2} +… [/ matemática] donde [matemática] \ psi_i [/ ​​matemática] es el estado inicial, y [matemática ] \ psi_ {Ei} [/ math] es el Eigenstate de energía correspondiente al valor Eigen de energía [math] Ei [/ math]. Entonces, por ejemplo, la probabilidad de que mida [matemática] E1 [/ matemática] y el estado por lo tanto estará en estado final [matemática] \ psi_f = [/ matemática] [matemática] \ psi_ {E1} [/ matemática] es igual a [matemática] C_1 ^ 2 [/ matemática].