¿Se puede usar el álgebra lineal para sistemas no lineales? En caso afirmativo, ¿cuáles son ejemplos de esto?

Answer 1

Si usa álgebra lineal para tratar con un sistema no lineal, será mediante la búsqueda de algo que sea lineal y esté asociado con el sistema no lineal. A menudo es que tienes una aproximación lineal al sistema no lineal. Por ejemplo, el jacobiano de una función de varias variables (ver Matriz y determinante jacobiano – Wikipedia) es lineal y proporciona una aproximación a una función que varía suavemente en un vecindario de un valor inicial dado.

El filtrado de Kalman (ver Filtro de Kalman – Wikipedia) es una aplicación de esta idea que se usa mucho. Los sistemas para el control de procesos no lineales a menudo usan el hecho de que (en casos adecuados) el estado de un sistema que está cerca del estado deseado puede aproximarse como una transformación lineal que varía en el tiempo de la perturbación inicial desde el estado deseado. El filtrado de Kalman le brinda una forma de estimar los parámetros de un sistema que no puede observar por completo.

Hay análisis de sistemas dinámicos que también dependen de poder aproximar el efecto de pequeñas perturbaciones linealmente. El exponente de Lyapunov (ver exponente de Lyapunov – Wikipedia) puede decirle algo sobre la previsibilidad de un sistema caótico.

Answer 2

Si pero no siempre. Puedes linealizar el sistema. En ciertas condiciones, cuando el sistema se comporta bien, puede reemplazar los elementos no lineales del comportamiento del sistema con la aproximación lineal. Un ejemplo es un péndulo. La ecuación diferencial a resolver incluye un seno que reemplazamos con la aproximación lineal.

Answer 3

Muchas maneras

1. Como una aproximación, por ejemplo, x = sin (x) para x cerca de cero.
2. Como el espacio de fase del sistema no lineal a lo largo del tiempo
3. Como una función de distribución de probabilidad
4. Como medida de una región estable de un sistema, por ejemplo, Lyapunov funciona en ecuaciones diferenciales.
5. Como una cadena de Markov que es un autómata finito no determinista, es decir, una máquina de estados finitos que se define por la probabilidad de transiciones entre estados, así como por entrada.
6. Como un conjunto de puntos fijos que surgen de un sistema dinámico discreto no lineal.