El álgebra lineal es el estudio de espacios vectoriales o módulos más generales.
Primero comenzamos con una pequeña introducción a los anillos. Un anillo es una estructura que se comporta de manera muy similar a lo que estás acostumbrado.
Tienes 2 operaciones binarias junto con un conjunto. Generalmente los llamamos [matemática] + [/ matemática] suma y [matemática] \ cdot [/ matemática] multiplicación. Mientras que este último generalmente se suprime en la notación como solo [math] ab [/ math]. A pesar de sus nombres, se pueden definir de maneras muy diferentes de lo que puede imaginar ahora, si no tiene experiencia matemática.
[matemáticas] a, b, c \ en R [/ matemáticas]
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[matemáticas] a + b \ en R [/ matemáticas]
[matemáticas] ab \ en R [/ matemáticas]
Entonces, no importa cómo agregue o multiplique sus elementos, permanecerá en la estructura.
Tenemos un elemento neutral [matemáticas] 0 [/ matemáticas] para sumar y para hacer muchas cosas a menudo también uno multiplicativo denotado con [matemáticas] 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] a + 0 = 0 + a = a [/ matemáticas]
[matemáticas] 1a = a1 = a [/ matemáticas]
Por conveniencia nos restringimos a la conmutatividad
[matemáticas] ab = ba [/ matemáticas]
Entonces tenemos elementos inversos
[math] \ forall a \ in R, \ exist -a \ in R [/ math] para que
[matemáticas] a + (- a) = 0 [/ matemáticas]
(y [math] \ forall a \ en R \ setminus \ {0 \}, \ exist -a, a ^ {- 1} \ in R [/ math]
[matemáticas] aa ^ {- 1} = 1 [/ matemáticas] en el caso de que queramos que nuestros anillos tengan inversas. Luego se llama campo si todos los elementos excepto [matemática] 0 [/ matemática] tienen inversa y el anillo es conmutativo)
Otras cosas que necesitamos son la distributividad y la asociatividad que finalmente dan mucha estructura para trabajar.
[matemáticas] (a + b) + c = a + (b + c) [/ matemáticas]
[matemáticas] (ab) c = a (bc) [/ matemáticas]
[matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas]
Eso podría ser mucho para tragar en este momento. Pero deberías reconocer mucho las cosas que ya sabes.
Los enteros [math] \ mathbb {Z} [/ math] con la suma y multiplicación habituales
[math] \ mathbb {R} [/ math] también con las operaciones habituales en él. Incluso es un campo.
Los polinomios y las matrices [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas] hacen lo mismo.
Por lo tanto, generalizamos mucho de lo que ve un número de manera abstracta.
Y para el álgebra lineal ahora definimos estructuras que están en relación con un anillo. Estos se llaman módulos o espacios de vectores si el anillo es un campo.
Deje que [math] M [/ math] sea un módulo sobre un anillo conmutativo [math] R [/ math]
Luego también tenemos la suma [matemática] (M, +) [/ matemática] con exactamente los mismos atributos.
En lugar de multiplicación, ahora tenemos multiplicación escalar. Lo que significa que tomamos un vector [matemático] v \ en M [/ matemático] y definimos una operación entre vectores y elementos del anillo.
[math] av \ in M [/ math] con nuevamente la misma notación suprimida.
No podemos multiplicar vectores entre nosotros.
La asociatividad también es válida y tenemos distributividad en forma de
[matemáticas] v, w \ en M [/ matemáticas] y [matemáticas] a, b \ en R [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + b) v = av + bv [/ matemáticas]
[matemáticas] a (v + w) = av + aw [/ matemáticas]
Ahora hemos terminado con la definición de qué es un espacio vectorial o más general de un módulo. Ahora llamaríamos [math] M [/ math] a [math] R – [/ math] module.
Las funciones que mantienen la estructura del módulo se denominan lineales. Estos son muy importantes y no deben subestimarse.
Entonces, para el punto principal:
Álgebra lineal es el estudio de los vectores / módulos y las funciones lineales en ellos.
Un ejemplo muy importante es que las funciones continuas / diferenciables sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] forman un espacio vectorial. Por lo tanto, todos los resultados que obtenemos del estudio general de espacios de vectores se pueden aplicar aquí. Y dinos cosas que de otra manera no veríamos fácilmente.
Y las derivadas, algo sobre lo que todo estudiante de cálculo debería saber un poco, son lineales. También se les llama linealización de una función.
Esto se debe a que [math] (f + g) ‘= f’ + g ‘[/ math] y [math] (af)’ = a (f ‘) [/ math] con [math] a \ in \ mathbb { R} [/ math] y [math] f, g [/ math] son funciones diferenciables sobre los reales.
Como puede ver, los derivados respetan completamente la estructura de espacio vectorial de la suma y la multiplicación escalar. Por lo tanto, muchos teoremas relacionados con derivados ahora pueden investigarse con métodos abstractos.
Por ejemplo, puede aplicar la diagonalización, un método de álgebra muy lineal para resolver ecuaciones diferenciales.
Lo mismo ocurre con muchas otras aplicaciones interesantes también.
Es por eso que los matemáticos están interesados en estudiar módulos / espacios de vectores.