Cómo resolver problemas de álgebra vectorial

Answer 1

Como

varía sobre todos los números reales,

toma todos los puntos en una línea con dirección, y como

varía sobre todos los números reales,

toma todos los puntos en una línea con dirección.

Dado que la ecuación dada tiene infinitas soluciones en

y, geométricamente, significa que las dos líneas se cruzan en infinitos puntos. Esto es posible solo si las líneas coinciden. Tenga en cuenta que esto puede ocurrir, porque el vector de dirección

de la primera línea es un múltiplo escalar del vector de dirección

de la segunda línea.

Para encontrar, podemos establecer

ser cualquier valor particular que nos guste. Para mayor comodidad, lo configuramos. Entonces

El lado izquierdo se convierte

Entonces

y $ t = k $. Resolviendo por $ t $, encontramos $ t = 1/4 $, entonces $ k = 1/4 $.

Answer 2

Primero, la forma de resolver la ecuación es recordar que dos vectores son iguales si y solo si todos sus componentes son iguales. Por lo tanto, su ecuación vectorial puede convertirse en una ecuación de los componentes xy los componentes y. Así:

[matemática] -3 + (- 4) t = -4 + 8s [/ matemática] componentes x

[matemática] 0 + 1t = k + (- 2) s [/ matemática] y-componente

Reorganizando, obtenemos

[matemáticas] 8s + 4t = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2s + t = k [/ matemáticas]

Hay infinitas soluciones si la ecuación superior es un múltiplo de la ecuación inferior, es decir, si las dos ecuaciones representan la misma línea. Entonces, resolviendo k multiplicando la ecuación inferior por -4 y peinando las dos ecuaciones, llegamos a:

[matemática] 0 = 1-4k [/ matemática] ==> [matemática] 4k = 1 [/ matemática] ==> [matemática] k = 1/4 [/ matemática]

Answer 3

Igualando los componentes i

-3–4t = -4 + 8s

esto se reduce a

8s + 4t = 1 …………………………………. (1)

Ahora equiparando los componentes j

0 + t = k -2s

esto se puede escribir como

2s + t = k …………………………………… (2)

multiplique (2) por 4 para obtener

8s + 4t = 4k ………………………………. (2 ‘)

Al comparar (2 ‘) con (1), se ve que las dos ecuaciones representan dos líneas paralelas que tienen diferentes intersecciones en y. Las dos líneas tendrán la misma intersección y, y por lo tanto coincidirán si

4k = 1 o

k = 1/4

Por lo tanto, 8s + 4t = 1

Está claro que para cada t existe una s tal que s = (1–4t) / 8

Answer 4

La mejor manera de resolver estos sistemas de ecuaciones lineales es escribirlo en la forma Ax = b donde A es una matriz cuadrada, x es el vector de incógnitas (aquí x = < t, s>) yb es un vector de constantes a las que se equiparan las ecuaciones.

Reorganizando la ecuación que ha dado rendimientos:

t <-4,1> + s <-8,2> = <-1, k>

En caso de que esto parezca confuso, la representación <-3,0> es exactamente la misma que su vector con la primera entrada -3 y la segunda entrada 0.

Ahora reescribimos esto en la forma Ax = b

[-4 -8] [t] = [- 1]
[1 2] [s] [k]

Ahora aumentando la matriz A con el vector de respuesta b , obtenemos

[-4 -8 | -1]
[1 2 | k]

Ahora podemos realizar operaciones elementales de fila (ERO) para reducir la matriz. Lo que esencialmente hacemos es realizar alguna operación en una de las filas para crear intencionalmente 1 a lo largo de la diagonal de la matriz y 0 en cualquier otro lugar. Entonces, comencemos con la primera fila <-4, -8>. Para obtener un 1 necesitamos dividir la fila por -4, y como tal llegamos al siguiente aumento:

[1 2 | 1/4]
[1 2 | k]

Ahora pasamos a la segunda fila. Para obtener un 0 en la primera entrada de la segunda fila, restamos la primera fila:

[1 2 | 1/4]
[0 0 | k-1/4]

Ahora, lo que está sucediendo aquí es que no podemos obtener un 1 en la segunda fila. De hecho, debido a que las dos filas eran iguales después de algún ERO, los llamamos vectores linealmente dependientes en el espacio real bidimensional. Por lo tanto, no podemos encontrar soluciones únicas para t y s. Pero esto nos da una ecuación simple ahora:

[1 2] [t] = [1/4]
[0 0] [s] [k-1/4]

que una vez multiplicado da t + 2s = 1/4. Si ver esto como (x, y) le ayuda, vea esto como x + 2y = 1/4 para que y = -x / 2 + 1/8. Esto solo significa que las soluciones de se encuentran en esta línea recta: hay soluciones infinitas.

La segunda parte de la matriz da

0s + 0t = k – 1/4, lo que significa que k = 1/4.

Ahora podemos probar la respuesta:

Necesitamos valores para . Elija t = 2, luego s = -2/2 + 1/8 = -1 + 1/8 = -7/8.

Ahora conectándolos al sistema anterior que proporcionó,

1. <-3,0> + 2 <-4,1> = <-3,0> + <-8,2> = <-11,2>
2. <-4, k> + (-7/8) <8, -2> = <-4,1 / 4> + <-7,7 / 4> = <-11, 8/4> = <-11 , 2>

Observe que para esta elección particular de , ambos lados del sistema equivalen a la misma respuesta vectorial. Puede probar un par más de solo para estar seguro, pero esta es la idea.

Espero que esto haya ayudado, y no dudes en preguntar si te confunde. Al principio luché mucho con estas cosas, así que sé lo engorroso que puede ser. Pido disculpas porque no sé cómo codificar en Latex, por lo que las matrices y los vectores se ven bastante desordenados.

Saludos cordiales,

Zane Heyl

Answer 5

Si multiplica la segunda ecuación por 4 y la agrega a la primera, obtendrá una ecuación -3 + 0t = 4k – 4 + 0s, es decir, 0t + 0s = 4k – 1. Si k = 1/4, la ecuación se convierte en 0t + 0s = 0. Entonces hay infinitas soluciones: syt podrían ser cualquier cosa. Para cualquier otro valor de k obtienes 0t + 0s no es cero, esto no es posible.