Intuitivamente, ¿cómo se acercan los métodos iterativos al valor correcto?

Answer 1

Intuitivamente, es una ventaja si los métodos iterativos convergen. No se garantiza que converjan. Sin embargo, hay condiciones para la convergencia.

Considere una iteración de punto fijo para resolver x = g (x). Sea x una aproximación ey la aproximación ‘mejorada’ resultante. Gráficamente, si la solución es c, una gráfica de g (x) pasa por el punto (c, c). Si comienza cerca de c, lo que garantizaría que la próxima iteración esté más cerca de c.

Una condición suficiente es que | g ‘(x) | <1 para todo x lo suficientemente cerca de c.

El método de Gauss-Seidel es esencialmente una iteración de punto fijo en más de una dimensión. Si no recuerdo mal, podría no converger a menos que la matriz sea diagonalmente dominante. Esto tendría sentido porque estamos reemplazando el sistema con un sistema diagonal moviendo los elementos fuera de la diagonal al otro lado de la ecuación. Esto debería funcionar si estos elementos son pequeños.