Ya hay una buena explicación en Wikipedia: Linealización – Wikipedia
Mi 2c:
La linealización de una función en un punto es una herramienta para aproximar una función no lineal. Debido a la expansión de Taylor (serie Taylor – Wikipedia), la aproximación lineal usando el gradiente en un punto x puede ser muy precisa si está muy cerca de este punto. Una aplicación es el método de Newton (método de Newton – Wikipedia).
En la siguiente imagen, se encuentra la raíz de la ecuación [matemática] f (x) = 0 [/ matemática], que es [matemática] r, [/ matemática]. Es trivial encontrar la raíz si [math] f (x) [/ math] es una función lineal. Las aproximaciones lineales también ayudarían. En la siguiente imagen, se considera la aproximación lineal local cerca de [math] x_0 [/ math]. Esta aproximación se puede denotar por [math] g (x) = f ‘(x_0) (x-x_0) + f (x_0) [/ math]. Podemos encontrar inmediatamente su raíz, que es [math] x_1 [/ math] en la figura. La teoría del método de Newton garantiza que [math] x_1 [/ math] estará cerca de la solución real [math] r [/ math], siempre y cuando [math] x_0 [/ math] esté lo suficientemente cerca de [math] r [/matemáticas]. Aparentemente, [matemática] x_1 [/ matemática] podría no ser lo suficientemente precisa. A continuación, podemos usar una aproximación lineal en [math] x_1 [/ math] para mejorar aún más la solución.
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Hay muchas otras aplicaciones de aproximación lineal local. Puede encontrar ideas relacionadas muchas veces en el cálculo, así como en otros estudios que se basan en el cálculo.