Bueno, todavía no he estudiado mucho álgebra lineal.
Solo un poco de las pocas páginas de un libro de texto ruso de ingeniería matemática.
Por lo tanto, mi elección es limitada. Ahora volvamos a la pregunta.
Teorema:
En un espacio vectorial n- dimensional, cualquier sistema de m vectores tal que m> n dependa linealmente.
En realidad, es suficiente considerar el caso [math] m = (n + 1) [/ math]: –
- Suponga que los vectores en contexto son [matemática] \ vec {x_ {1}}, \ vec {x_ {2}} \ cdots \ space (i = 1,2 \ cdots (n + 1)) [/ math]
- La base se compone de [matemáticas] \ vec {e_ {1}} [/ matemáticas], [matemáticas] \ vec {e_ {2}} [/ matemáticas], [matemáticas] \ cdots \ vec {e_ {n}} [/ matemáticas]
Ahora expresemos cada vector en términos de la base:
[matemáticas] x _ {(1)} = {\ alpha_ {1}} ^ {1} \ vec {e_ {1}} + {\ alpha_ {1}} ^ {2} \ vec {e_ {2}} + \ cdots {\ alpha_ {1}} ^ {n} \ vec {e_ {n}} [/ math]
[matemáticas] x _ {(2)} = {\ alpha_ {2}} ^ {1} \ vec {e_ {1}} + {\ alpha_ {2}} ^ {2} \ vec {e_ {2}} + \ cdots {\ alpha_ {2}} ^ {n} \ vec {e_ {n}} [/ math]
[matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] x _ {(n + 1)} = {\ alpha_ {n + 1}} ^ {1} \ vec {e_ {1}} + {\ alpha_ {n + 1}} ^ {2} \ vec { e_ {2}} + \ cdots {\ alpha_ {n + 1}} ^ {n} \ vec {e_ {n}} [/ math]
Espero que la notación sea clara : ahora los organizaría en una matriz de tal manera que la columna [math] i [/ math] contenga los componentes del vector [math] x_ {i} [/ math]
[matemáticas] S = \ begin {pmatrix} {\ alpha_ {1}} ^ {1} & {\ alpha_ {2}} ^ {1} \ cdots {\ alpha_ {n + 1}} ^ {1} \\ {\ alpha_ {1}} ^ {2} y {\ alpha_ {2}} ^ {2} \ cdots {\ alpha_ {n + 1}} ^ {2} \\ \ cdots \ cdots \\ {\ alpha_ { 1}} ^ {n} y {\ alpha_ {2}} ^ {n} \ cdots {\ alpha_ {n + 1}} ^ {n} \ end {pmatrix} [/ math]
Ahora recuerde: ¿cómo encontramos el número de columnas / filas linealmente independientes en una matriz?
Al calcular su rango [matemáticas]. [/ Matemáticas]
Pero dado que el rango no puede exceder el número de filas [matemáticas] n [/ matemáticas], el número de vectores de columna linealmente independientes no puede exceder [matemáticas] n [/ matemáticas]
Así
[matemáticas] \ vec {x_ {1}}, \ vec {x_ {2}} \ cdots, \ vec {x_ {n + 1}} \ cdots [/ math] dependen linealmente.
Mi prueba está completa.
Ahora, ¿por qué este teorema es mi favorito?
- No he estudiado mucho álgebra lineal, así que no puedo entender los teoremas que no he encontrado que podrían convertirse en uno de mis favoritos algún día.
- La prueba es corta y simple.
- Como corolario, este teorema muestra que todas las bases en un espacio vectorial deberían tener igual Número de vectores.
- Esto pone una especie de relación restringida en una colección aleatoria de vectores tomados en un espacio vectorial.
PD: escribí esta respuesta desde mi móvil, por lo que hay muchas posibilidades de error.
Referencia:
Rango (álgebra lineal) – Wikipedia