No está claro qué antecedentes se pretende para esta pregunta. Si está hablando de una variedad diferenciable, que es un espacio abstracto que generaliza una superficie en un espacio tridimensional, entonces, siendo abstracto, tenemos que definir conceptos como tangentes haciendo referencia a objetos dentro del espacio.
Pero tomemos algo menos abstracto, una esfera, por ejemplo, o un hiperboloide o alguna superficie similar en tres dimensiones.
Un vector en un punto de la superficie puede representarse mediante un segmento de línea en el plano tangente a la superficie en el punto. Pensemos en ello como la velocidad de una partícula que se mueve en la superficie. La partícula se mueve a lo largo de una curva. Cualquier partícula que se mueva a lo largo de cualquier otra curva que pase por el punto tendrá la misma dirección en el punto si las curvas son tangenciales entre sí. Necesitamos un poco más para que las velocidades sean el mismo vector: deben moverse a la misma velocidad. Por lo tanto, una clase de curvas de equivalencia que tienen la misma dirección en un punto y se trazan a la misma velocidad esencialmente describe un vector tangente en ese punto.
Si desea abstraer la idea de una tangente en espacios arbitrarios, esa es una forma bastante obvia de hacerlo.
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Existe otro concepto de tangente que representa el cambio en una función definida en la superficie. Esto es dual a la tangente como se definió anteriormente. Uno de estos se llama cotangente y vive en el espacio cotangente. (Olvidé cuál es cuál)
Para obtener más información, debe leer sobre múltiples y el concepto de un espacio dual en álgebra lineal.
En física, los dos tipos de vectores a menudo se llaman sujetadores, denotados por , por lo que los dos juntos se convierten en corchetes que es un producto de un vector, a, y un codificador, b. (O de otra forma.)