¿La forma escalonada reducida de una matriz que tiene una columna linealmente independiente es necesariamente la matriz de identidad?

Answer 1

No, en el caso de que sea cuadrado lo es. La matriz de identidad es cuadrada y las matrices elementales son cuadradas.

Suponga que A es una matriz invertible [matemática] n \ veces n [/ matemática], entonces podemos usar operaciones elementales de fila para poner cualquier matriz en su forma escalonada única de fila reducida. Se obtiene una matriz de elementos que realiza una operación elemental en [math] I_ {n} [/ math] dando el tipo 1,2,3

(1) intercambiando cualquiera de las dos filas o columnas (2) multiplicando cualquiera de las dos filas o columnas y (3) agregando múltiples escalares de filas o columnas a otras filas.

Ahora deje que A [math] \ in [/ math] GL (n, [math] \ mathbb {F} [/ math]), donde [math] \ mathbb {F} = \ mathbb {R} [/ math], [matemáticas] \ mathbb {C} [/ matemáticas] $

luego, dado una base, obtenga una matriz invertible.

entonces deje [math] ZA = I [/ math] y construiremos Z a partir de operaciones de fila elementales.

[matemáticas] \ existe k \ en \ mathbb {N} [/ matemáticas] st [matemáticas] \ prod_ {i = 1} ^ {k} E_ {i} = (E_ {k} E_ {k-1} \ cdots E_ {2} E_ {1}) = Z = A ^ {- 1} [/ matemática]

entonces nosotros tenemos

[matemáticas] (E_ {k} E_ {k-1} \ cdots E_ {2} E_ {1}) A = I \ implica A ^ {- 1} A = I [/ matemáticas]

Pero si no es cuadrado, no es el caso.

Answer 2

Hacer un intercambio de filas cambia la matriz. No es esencialmente la misma matriz porque la imagen de la nueva matriz es diferente. Sin embargo, el núcleo no se ve afectado por un intercambio de filas.

El rref no es único, y la matriz que proporcionó es una forma válida. En consecuencia, la respuesta a si la referencia de una matriz cuadrada con columnas linealmente independientes no es necesariamente la matriz de identidad.

En realidad, su pregunta no se limitó a las matrices cuadradas. Claramente para una matriz que no abarca completamente Rn, la rref no dará como resultado la matriz de identidad sin importar cuántos intercambios de fila se realicen.