[math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] produce un vector o tupla. [math] \ mathbb {R} ^ 1 [/ math] produce un número. ¿Qué produce [math] \ mathbb {R} ^ 0 [/ math]? ¿Este conjunto tiene algún elemento?

Answer 1

En general, [math] A ^ B [/ math] denota el conjunto de funciones desde el set [math] B [/ math] al set [math] A [/ math]. (Esta notación refleja el hecho de que si [matemática] A [/ matemática] tiene [matemática] n [/ matemática] elementos y [matemática] B [/ matemática] tiene [matemática] m [/ matemática] elementos, entonces hay [ matemática] n ^ m [/ matemática] diferentes funciones de [matemática] B [/ matemática] a [matemática] A [/ matemática]).

[matemáticas] 0,1,2, \ puntos [/ matemáticas] denotan un conjunto con 0 elementos (el conjunto vacío), con 1 elemento, con 2 elementos, y así sucesivamente.

Entonces [math] A ^ 1 [/ math] denota el conjunto de funciones desde un singleton al conjunto [math] A [/ math]. Hay exactamente uno de estos para cada elemento de [math] A [/ math], por lo que [math] A ^ 1 [/ math] es esencialmente lo mismo que [math] A [/ math].

[matemáticas] A ^ 2 [/ matemáticas] denota el conjunto de funciones de un conjunto con dos elementos, digamos [matemáticas] \ {1,2 \} [/ matemáticas], a [matemáticas] A [/ matemáticas]. Tal función se parece a esto:

[matemáticas] a: \ {1,2 \} \ a A [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ mapas a a_1 \ en A [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ mapsto a_2 \ en A [/ matemáticas]

Puede identificar estas funciones con pares ordenados [math] (a_1, a_2) [/ math] de elementos de [math] A [/ math], que es cómo se obtienen los vectores.

Ahora [math] A ^ 0 [/ math] es el conjunto de funciones del conjunto vacío a [math] A [/ math]. Hay exactamente uno de estos, la función vacía

[matemáticas] 0: A \ a 0. [/ matemáticas]

En otras palabras, [matemáticas] A ^ 0 = \ {0 \} [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] A ^ 0 [/ matemáticas] es siempre un singleton. (Esto refleja el hecho de que [matemáticas] x ^ 0 = 1 [/ matemáticas] para cualquier número [matemáticas] x [/ matemáticas]). En particular, [math] \ mathbb {R} ^ 0 [/ math] es solo un punto, generalmente identificado con el origen y denotado [math] 0 [/ math].

Pero hay más usos para identificar el número natural [matemáticas] n [/ matemáticas] con un conjunto de elementos [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] A ^ B [/ matemáticas] con el conjunto de funciones de [matemáticas ] B [/ matemáticas] a [matemáticas] A [/ matemáticas]. No solo puede obtener vectores de longitud arbitraria, sino también matrices.

Por ejemplo, el conjunto de matrices [math] n [/ math] -by- [math] m [/ math] con entradas reales generalmente recibe la notación torpe [math] \ mathcal {M} _ {n \ times m} (\ mathbb {R}) [/ math] (o tal vez [math] \ text {Mat} [/ math] en lugar de [math] \ mathcal {M} [/ math]).

Con la identificación anterior, puede escribirla en la notación más compacta y descriptiva [math] \ mathbb {R} ^ {n \ times m} [/ math].

Este es el conjunto de funciones del producto cartesiano [matemática] n \ veces m [/ matemática] a los números reales, o el conjunto de todas las opciones de un número real para cada una de las filas [matemática] n [/ matemática] y cada una de las columnas [math] m [/ math].

Answer 2

La convención habitual es que contiene solo un elemento: 0. Pero es importante comprender que se trata de una convención / definición, ya que la definición habitual de R ^ n como producto cartesiano solo es válida para n> 0

Answer 3

[math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] es la abreviatura de [math] \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} [/ math]

Los elementos de la misma son tuplas.

Con las operaciones habituales en él, se convierte en un espacio vectorial.

[math] \ mathbb {R} ^ 1 = \ mathbb {R} [/ math] es un campo. También es un espacio vectorial sobre sí mismo.

[math] \ mathbb {R} ^ 0 [/ math] no se define como producto cartesiano.

Puede usar la expresión para denotar el subespacio [matemático] 0 – [/ matemático].