¿Deberían las entradas de los vectores en un espacio vectorial ser del mismo campo de sus escalares?

Answer 1

No, en general los vectores ni siquiera tienen entradas.

Todo lo que necesita en su caso es que de alguna manera se defina la multiplicación escalar.

Esto es mucho más fácil si las entradas de los vectores (que es solo una forma que los vectores pueden tomar) son un subcampo o un supercampo del que tiene.

Por ejemplo, [math] \ mathbb {C} [/ math] es un espacio vectorial [math] \ mathbb {R} [/ math]

También [math] \ mathbb {R} [x] [/ math] es un espacio vectorial [math] \ mathbb {Q} [/ math]. (todos los polinomios reales)

Y [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] es un espacio vectorial [math] \ mathbb {C} [/ math]

con [matemáticas] (a + bi) \ cdot \ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} ax-by \\ ay + bx \ end {pmatrix} [/ math]

Pero no hay nada que nos impida definir artificialmente la multiplicación escalar que concuerde con los axiomas del espacio vectorial.

Answer 2

Mientras Henning hace algunos buenos puntos, en cierto sentido, la respuesta es sí, para espacios vectoriales de dimensiones finitas. Si V es una dimensión finita de la dimensión n sobre el campo F, entonces V es isomorfo a [matemática] F ^ n [/ matemática] como un espacio vectorial sobre sí mismo, donde los vectores son n-ples [matemática] (f_1, f_2, .., f_n); f_i \ en F [/ matemáticas].