¿Puede ser una matriz 3 × 3 ortogonal asimétrica sesgada?

Answer 1

Si una matriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática] [matemática] M [/ matemática] es simétrica y ortogonal, entonces simultáneamente satisface

[matemática] M ^ T = -M [/ matemática] y [matemática] M ^ {- 1} = M ^ T [/ matemática].

Por lo tanto, [math] -M = M ^ {- 1} [/ math] o [math] M ^ 2 = -I [/ math]. Entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix} .[/matemáticas]

Obtenemos las relaciones

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] ab = ac = bc = 0 [/ matemáticas]

Del primer conjunto de ecuaciones, obtenemos [matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2 = c ^ 2 = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Pero estas relaciones contradicen fuertemente el segundo conjunto de ecuaciones. Por lo tanto, no hay una matriz [matemática] 3 \ por 3 [/ matemática] que sea simétrica y ortogonal a la vez.

(Sin embargo, tenga en cuenta que [math] 2 \ times 2 [/ math] y [math] 4 \ times 4 [/ math] matrices que son asimétricas y ortogonales existen).

Answer 2

Lema : El determinante de un sesgo simétrico ordenado impar es cero.

Prueba : Suponga que [matemática] M [/ matemática] es simétrica [matemática] (2k-1) \ veces (2k-1) [/ matemática]

. Entonces [matemática] M ^ t = -M [/ matemática] dando [matemática] det (M ^ t) = det (-M) = det (-IM) = det (-I) det (M) = (- 1 ) ^ {2k-1} det (M) [/ math], donde [math] I = (2k-1) \ times (2k-1) [/ math] matriz de identidad [math] [/ math]

. Pero sabemos [matemáticas] det (M ^ t) = det (M) [/ matemáticas]. entonces obtenemos [matemática] det (M) [/ matemática] [matemática] = det (M ^ t) = – det (M) [/ matemática]. es decir

[matemática] det (M) = 0 [/ matemática].

Ahora llegando al problema original :

Su matriz tiene determinante [matemática] -1 [/ matemática]. Entonces, según el lema demostrado anteriormente, usted concluye que su matriz no es asimétrica.

Answer 3

Hay muchas cosas en las que esta matriz es ortogonal (porque el producto de punto de cualquiera de las dos columnas es igual a 0), simétrica (porque tomar la transposición de esta matriz produce la misma matriz) y también una matriz elemental que cambia la primera y la segunda filas de otras matrices.

Dicho esto, su matriz no es absolutamente asimétrica. La definición de una matriz simétrica oblicua establece que una matriz simétrica oblicua es una matriz que es igual al negativo de su transposición. Una forma alternativa de decir esto es que cada entrada en la i-ésima fila y la j-ésima columna, indicada (a) ij, es igual al negativo de la entrada en la j-ésima fila y la i-ésima columna. Esto a menudo se expresa como (a) ij = – (a) ji para todo i (de 0 a n) y j (de 0 a n). Como las entradas diagonales tienen la misma fila y columna (lo que significa que i = j, y tenemos (a) ii = – (a) ii, las entradas diagonales deben ser iguales a las negativas, por lo que deben ser iguales a 0. Su matriz tiene un valor distinto de cero entrada en la diagonal principal, que inmediatamente descalifica a esta matriz de ser asimétrica.

Answer 4

Su matriz es simétrica pero no sesgada. Y de hecho, es ortogonal (es incluso una matriz de rotación).