Cómo encontrar los valores propios de una matriz en mecánica cuántica

Answer 1

Lo que estás preguntando no es específico de la mecánica cuántica, así que solo daré el método matemático general para encontrar valores propios.

Tiene su matriz [matemática] H [/ matemática], luego para encontrar los valores propios que necesita resolver:

[matemáticas] | H- \ lambda I | = 0 [/ matemáticas]

Es decir, debe encontrar el determinante de la matriz [matemática] H [/ matemática] donde cada valor diagonal desde la parte superior izquierda a la inferior derecha tiene el valor “[matemática] – \ lambda [/ matemática]” agregado a eso.

Por ejemplo, tome [math] H = \ begin {pmatrix} E_1 & 0 \\ 0 & E_2 \ end {pmatrix} [/ math]

Luego, los valores propios se encuentran tomando primero [math] H- \ lambda I [/ math], que es

[matemáticas] \ begin {pmatrix} E_1 & 0 \\ 0 & E_2 \ end {pmatrix} – \ lambda \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} E_1 – \ lambda & 0 \\ 0 & E_2- \ lambda \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces necesitas resolver [math] | H- \ lambda I | = 0 [/ math], que es

[matemáticas] \ begin {vmatrix} E_1 – \ lambda & 0 \\ 0 & E_2- \ lambda \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Esto por lo tanto es:

[matemáticas] (E_1- \ lambda) (E_2- \ lambda) – (0) (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] E_1 E_2 – \ lambda (E_1 + E_2) + \ lambda ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [math] \ lambda = \ frac {(E_1 + E_2) \ pm \ sqrt {(E_1 + E_2) ^ 2 – 4E_1E_2}} {2E_1E_2} [/ math]

Esos dos valores de [math] \ lambda [/ math] son ​​los valores propios de [math] H [/ math].

Para concluir: los valores propios [math] \ lambda [/ math] de una matriz [math] H [/ math] se encuentran resolviendo:

[matemáticas] | H- \ lambda I | = 0 [/ matemáticas]

Answer 2

Los valores propios de una matriz corresponden a las raíces del polinomio característico de la misma.

[matemáticas] A \ en Mat (n, R) [/ matemáticas] [matemáticas] R [/ matemáticas] es un anillo conmutativo.

Que es [matemática] P_A = [/ matemática] [matemática] det (A- \ lambda E_n) \ en R [\ lambda] [/ matemática]

Este es un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas]

Entonces, en general, para matrices más grandes será difícil. Pero si usa métodos habituales como Laplace, puede obtener una buena forma del polinomio.

Luego resuelve [matemáticas] P_A (\ lambda) = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

No se encuentran cómo piensas. Hay algo llamado método de aproximación nato. Existen diferentes métodos numéricos surgidos de los fundamentos de la mecánica cuántica. Uno es hartree fock. Debido al principio de exclusión de pauli, uno de estos describe el determinante (determinantes del pizarrón) de cada función propia. [1] Entonces, técnicamente depende de cómo lo hagas y del modelo cuántico que estés usando. Numéricamente cómo se hace esto. Puedes buscarlo en línea.

Notas al pie

[1] Método Hartree – Fock – Wikipedia