Cómo encontrar una matriz 2 X 2 que [matemática] A ^ 2 = A [/ matemática]

Answer 1

Deje que las cuatro entradas sean a, b, c, d.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a ^ 2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d ^ 2 \ end {bmatrix} \\ [/ math]

Entonces, si necesito satisfacer tu condición:
[matemáticas] a = a ^ 2 + bc \\ b = ab + bd \\ c = ac + cd \\ d = bc + d ^ 2 \\ [/ matemáticas]

Probablemente podría resolver este sistema de ecuaciones manualmente … pero lo encuentro engorroso, así que lo conecté a Wolfram Alpha, obteniéndome:

[matemáticas] a ^ 2 – a \ neq 0 \\ b \ neq 0 \\ c = \ frac {a – a ^ 2} {b} \\ d = 1 – a \\ [/ matemáticas]

Muy bien, entonces parece tener dos variables libres, a y b. Probémoslo con a = 2 y b = 1.
[matemáticas] c = \ frac {2 – 2 ^ 2} {1} = -2 \\ d = 1 – 2 = -1 \\ [/ matemáticas]

Tenemos una matriz ahora, ¡probemos si funciona!

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \ end {bmatrix} \ times \ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} (4 – 2) & (2 – 1) \\ (-4 + 2) & (-2 + 1) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \ end {bmatrix} \\ [/ math]

Y eso funciona!

Answer 2

Esto suena como un problema de tarea, así que te daré una pista: cualquier matriz que satisfaga lo anterior tiene que ser similar a la matriz cero, la matriz de identidad o esta matriz:

[matemática] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array} \ right) [/ math]

solo una de estas tres opciones funcionará por razones que se vuelven obvias cuando juegas con el problema durante unos minutos. Todo lo que le queda por hacer es elegir una buena base para colocar en las columnas de una matriz [matemática] V [/ matemática] para que [matemática] VDV ^ {- 1} [/ matemática] satisfaga la condición de entrada distinta de cero. de las matrices diagonales de arriba.

Answer 3

Si A ^ 2 = A, se deduce que A ^ 2 – A = 0, donde 0 es la matriz nula o zaro.

Factorizando A (A – I) = 0, donde I es la matriz de identidad.

se deduce que A = I o A = 0

y dado que estamos buscando una matriz cuyas entradas no sean todos ceros, se deduce que la matriz de Identidad es una solución. También pueden existir otras soluciones, ya que uno puede encontrar dos matrices A y B, ambas no cero pero su producto AB = 0.

Answer 4

Para [matemáticas] A ^ 2 = A [/ matemáticas], la respuesta será una matriz de identidad.

La matriz de identidad 2X2 es \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}

Answer 5

Una de esas matrices que satisface los criterios es

\ begin {bmatrix} 0.5 y 0.5 \\ 0.5 y 0.5 \ end {bmatrix}

Puede verificar por sí mismo que [matemáticas] A ^ 2 = A [/ matemáticas], y todas las entradas son distintas de cero.

Answer 6

Dándonos la máxima libertad, diagonalicemos en el campo complejo. Sea c un valor propio (derecho) de A correspondiente a un vector propio x.

A ^ 2 x = A x,
c ^ 2 x = cx,
c (c – 1) x = 0,
c = 0, 1.

Hay un nombre para transformaciones lineales P tal que P ^ 2 = P. Se llaman proyecciones. La respuesta está en cómo proyectar. El rango de tales proyecciones podría ser 0, 1 o 2 dimensiones. Cuando el rango es 0-dimensional, la matriz es toda cero. Cuando el rango es bidimensional, la matriz debe ser una matriz de rotación porque el valor propio es 1. La única rotación que es una proyección es la identidad. Cuando el rango es unidimensional, los valores propios son 0 y 1, la matriz es [1, 0; 0, 0].

Por lo tanto, todas las respuestas tienen al menos dos entradas cero.

Answer 7

Bueno, la matriz de identidad (1, 0 en la primera fila, luego 0, 1 en la segunda fila) es un buen punto de partida. Y, dentro del ámbito de las matrices “reales”, puede ser la única solución.

Answer 8

“Idempotencia” es lo que debe buscar. Por ejemplo, una proyección es idempotente y, en su caso, podría ser la forma de explorar su pregunta.