¿Qué es la matriz invertible?

Answer 1

Se dice que una matriz nxn A es invertible si existe una matriz nxn B tal que

A es el inverso de una matriz, que se vuelve cada vez más difícil de resolver a medida que aumentan las dimensiones de nuestra matriz nxn. El inverso de una matriz A se puede dar por 1 dividido por el determinado de la matriz A multiplicado por nuestra nueva matriz N (que hay una forma intrincada de calcular). En es la matriz de identidad. tal que la entrada principal en cada columna sea 1, y todos los demás elementos de la matriz sean 0, no debe confundirse con una matriz en forma reducida de escalón bajo, que se logra mediante la eliminación de Gauss-Jordan.

Deje [1]

Uno puede verificar fácilmente que

Notas al pie

[1] Matrices invertibles

Answer 2

Una matriz invertible es una matriz [matemática] M [/ matemática] como existe una matriz [matemática] N [/ matemática] como [matemática] MN = NM = I_n [/ matemática].

Al observar esta ecuación, está claro que esta ecuación solo puede sostenerse si [math] M [/ math] es una matriz cuadrada [math] n \ times n [/ math]. [matemática] N [/ matemática] por lo tanto se observa [matemática] M ^ {- 1} [/ matemática].

¿Entonces que significa eso exactamente?

Podemos considerar una matriz [math] M \ in \ mathcal {M} _n (\ R) [/ math] como una aplicación lineal [math] \ mu: \ R ^ n \ rightarrow \ R ^ n [/ math]. Usando la base canónica, la imagen de [math] \ mu [/ math] de [math] x = x_1e_1 +… + x_ne_n [/ math] es

[matemáticas] \ displaystyle \ mu (x) = \ sum_ {i = 1} ^ n \ sum_ {j = 1} ^ nM_ {i, j} x_je_i [/ ​​math]

Puede considerar el inverso de la matriz [matemática] M [/ matemática] como el inverso de la función [matemática] \ mu [/ matemática]:

[matemáticas] M ^ {- 1} MX = I_nX = X [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mu ^ {- 1} (\ mu (x)) = x [/ matemáticas]

El inverso es especialmente útil para resolver la ecuación lineal: si tiene la siguiente ecuación lineal general [matemática] MX = Y [/ matemática], si desea resolver esta ecuación, solo tiene que invertir la matriz [matemática] M [/ matemática], y luego tiene [matemática] M ^ {- 1} MX = X = M ^ {- 1} Y [/ matemática].

Tenga en cuenta que una matriz no siempre es invertible: por ejemplo, la matriz [matemática] 0_n [/ matemática] llena de ceros no es invertible. Más generalmente, una matriz es invertible si y solo si su determinante no es igual a [math] 0 [/ math], lo que equivale a decir que su rango es [math] n [/ math].