A y B son dos matrices invertibles cuadradas con la matriz C = a * A + b * B. ¿Qué condiciones deben tener dos números reales a y b para que C sea invertible?

Answer 1

No hay detalles sobre A y B, por lo que será general. Estás tratando de evitar det (C) = 0.

Cuando escalas y sumas, terminas con [matemáticas] aA + bB \ rightarrow aA_ {i, j} + bB_ {i, j} [/ matemáticas] ([matemáticas] A_ {i, j} [/ matemáticas] se refiere a la entrada i, j de A.)

Si [math] det (C) \ neq 0 [/ math], entonces [math] a, b [/ math] debe ser tal que:

[math] aA_ {i} + bB_ {i} \ neq p (aA_ {k} + bB_ {k}) [/ math], para todos [math] i \ neq k [/ math] y [math] p \ neq 0 [/ math]. (Donde [math] A_i [/ ​​math] se refiere a la i-ésima fila de A.)

Es decir, sin saber qué son A y B, sus sumas escaladas aún deben producir una matriz de rango completo. Ninguna fila de la suma puede ser un múltiplo de la otra, y una fila no puede ser cero. E incluso esto puede no ser suficiente, porque una fila podría ser una combinación lineal de más de una fila. Entonces este resultado podría generalizarse:

[matemáticas] (aA_ {i} + bB_ {i}) ^ {\ intercal} \ neq \ sum_ {k \ neq i} p_k (aA_ {k} + bB_ {k}) ^ {\ intercal} [/ math] , donde [math] p_k \ neq 0 [/ math].

Traducido: a, b debe ser tal que la suma de las mismas filas de aA y bB y cualquier otra combinación lineal de cualquier otra fila de aA y bB no sea posible.

Esta es la forma más generalizada en que estoy pensando en esto. Si está buscando algo más específico, creo que necesitará más información.

Answer 2

Hay una condición simple que se cumple para todas las matrices A y B. Si [matemática] a = 0 [/ matemática] y [matemática] b \ neq0 [/ matemática] o [matemática] a \ neq0 [/ matemática] amd [matemática] b = 0 [/ math], es obvio que C es invertible.

Ahora veamos qué sucede si tanto [math] a \ neq0 [/ math] como [math] b \ neq0 [/ math]. En general, C es invertible si su determinante es distinto de cero

[matemáticas] 0 \ neq | C | = | aA + bB | = | aA (I + \ frac {b} {a} A ^ {- 1} B) | = a | A || I + \ frac {b} { a} A ^ {- 1} B | [/ matemáticas]

Suponiendo que [math] a \ neq0 [/ math] y dado que A es invertible, encontramos que C es invertible si f [math] I + \ frac {b} {a} A ^ {- 1} B [/ math] también invertible En otras palabras, esta matriz no tiene un valor propio cero, es decir, no hay un vector v que satisfaga

[matemáticas] (I + \ frac {b} {a} A ^ {- 1} B) v = 0 [/ matemáticas]

o equivalente

[matemáticas] A ^ {- 1} Bv = – \ frac {a} {b} v [/ matemáticas]

Conclusión: para que C sea invertible, entonces

1. [matemáticas] a \ neq0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]
2. o [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b \ neq0 [/ matemáticas]
3. o [matemática] a \ neq0 [/ matemática] y [matemática] b \ neq0 [/ matemática] y [matemática] – \ frac {a} {b} [/ matemática] no es un valor propio de [matemática] A ^ { -1} B [/ matemáticas]