¿De qué manera puedes determinar el área de un triángulo usando matrices?

Answer 1

Una forma relativamente conocida de encontrar el área de un triángulo cuyos vértices están en [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática], [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática] y [matemática] (x_3, y_3 ) [/ math] es encontrando el determinante

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \ end {vmatrix} [/ math]

luego dividiendo entre [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y eliminando el signo negativo (si el resultado tiene uno).

Esto también se puede usar para probar si tres puntos en un espacio bidimensional son colineales, es decir, se encuentran en la misma línea recta. Si eso sucede, entonces la forma producida al unir estos tres puntos por los bordes no será un triángulo, por lo que su ‘área’ sería cero. Por lo tanto, tres puntos [matemática] (x_1, y_1) [/ matemática], [matemática] (x_2, y_2) [/ matemática] y [matemática] (x_3, y_3) [/ matemática] son ​​colineales si y solo si la matriz [matemáticas] T = \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \ end {pmatrix} [/ math] es singular; de manera equivalente, las filas (o columnas) de esta matriz dependen linealmente. Por otro lado, si las filas (o columnas) de esta matriz son linealmente independientes, entonces los tres puntos forman un triángulo cuya área es [matemática] \ frac {1} {2} | \ det (T) | [/ matemática ]