¿Cómo pensaron los matemáticos el concepto de matriz y determinantes?

Answer 1

Los inicios de matrices y determinantes se remontan al siglo II a. C., aunque se pueden ver rastros del siglo IV a. C. Sin embargo, no fue sino hasta finales del siglo XVII que reaparecieron las ideas y el desarrollo realmente comenzó.

No es sorprendente que los comienzos de matrices y determinantes surjan a través del estudio de sistemas de ecuaciones lineales. Los babilonios estudiaron problemas que conducen a ecuaciones lineales simultáneas y algunas de ellas se conservan en tabletas de arcilla que sobreviven. Por ejemplo, una tableta que data de alrededor de 300 aC contiene el siguiente problema:

Hay dos campos cuya área total es de 1800 yardas cuadradas. Uno produce grano a razón de 2/3 de un bushel por yarda cuadrada, mientras que el otro produce grano a razón de 1/2 a un bushel por yarda cuadrada. Si el rendimiento total es de 1100 bushels, ¿cuál es el tamaño de cada campo?

Los chinos, entre 200 a. C. y 100 a. C., se acercaron mucho más a las matrices que los babilonios. De hecho, es justo decir que el texto Nueve capítulos sobre el arte matemático escrito durante la dinastía Han ofrece el primer ejemplo conocido de métodos matriciales. Primero se establece un problema que es similar al ejemplo babilónico dado anteriormente:

Hay tres tipos de maíz, de los cuales tres paquetes del primero, dos del segundo y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos de los primeros, tres del segundo y uno del tercero hacen 34 medidas. Y uno de los primeros, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de maíz contiene un paquete de cada tipo?

Ahora el autor hace algo bastante notable. Establece los coeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas como una tabla en un ‘tablero de conteo’.

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

Nuestros métodos de finales del siglo XX nos tendrían que escribir las ecuaciones lineales como las filas de la matriz en lugar de las columnas, pero, por supuesto, el método es idéntico. Lo más notable es que el autor, escribiendo en 200 AC, instruye al lector a multiplicar la columna central por 3 y restar la columna derecha tantas veces como sea posible , lo mismo se hace restando la columna derecha tantas veces como sea posible de 3 veces la primera columna. Esto da

0 0 3

4 5 2

8 1 1

39 24 39

Luego, la columna de la izquierda se multiplica por 5 y luego la columna del medio se resta tantas veces como sea posible . Esto da

0 0 3

0 5 2

36 1 1

99 24 39

a partir del cual se puede encontrar la solución para el tercer tipo de maíz, luego para el segundo, luego el primero por sustitución inversa. Este método, ahora conocido como eliminación gaussiana, no sería conocido hasta principios del siglo XIX.

¡Cardan, en Ars Magna (1545), da una regla para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales que él llama regula de modo y que [7] llama madre de reglas ! Esta regla da lo que esencialmente es la regla de Cramer para resolver un sistema 2 × 2, aunque Cardan no hace el paso final. Por lo tanto, Cardan no alcanza la definición de un determinante pero, con la ventaja de la retrospectiva, podemos ver que su método conduce a la definición.

Muchos resultados estándar de la teoría de matrices elementales aparecieron mucho antes de que las matrices fueran objeto de investigación matemática. Por ejemplo, de Witt en Elementos de curvas , publicado como parte de los comentarios sobre la versión latina de 1660 de Géométrie de Descartes, mostró cómo una transformación de los ejes reduce una ecuación dada para una forma cónica a canónica. Esto equivale a diagonalizar una matriz simétrica, pero De Witt nunca pensó en estos términos.

La idea de un determinante apareció en Japón y Europa casi al mismo tiempo, aunque Seki en Japón ciertamente publicó primero. En 1683, Seki escribió Método para resolver los problemas disimulados que contiene métodos matriciales escritos como tablas exactamente de la manera en que se construyeron los métodos chinos descritos anteriormente. Sin tener ninguna palabra que corresponda a “determinante”, Seki aún introdujo determinantes y dio métodos generales para calcularlos basados ​​en ejemplos. Utilizando sus “determinantes”, Seki pudo encontrar determinantes de matrices 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 y 5 × 5 y las aplicó para resolver ecuaciones pero no sistemas de ecuaciones lineales.

Más bien notablemente, la primera aparición de un determinante en Europa apareció exactamente en el mismo año 1683. En ese año, Leibniz escribió a de l’Hôpital. Explicó que el sistema de ecuaciones

10 + 11x + 12y = 0

20 + 21x + 22y = 0

30 + 31x + 32y = 0

tenía una solución porque

10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30

que es exactamente la condición de que la matriz de coeficientes tenga determinante 0. Observe que aquí Leibniz no está usando coeficientes numéricos sino

dos caracteres, la primera marca en qué ecuación ocurre, la segunda marca a qué letra pertenece.

Por lo tanto, 21 denota lo que podríamos escribir como a21.

Leibniz estaba convencido de que una buena notación matemática era la clave del progreso, por lo que experimentó con una notación diferente para sistemas de coeficientes. Sus manuscritos inéditos contienen más de 50 formas diferentes de escribir sistemas de coeficientes en los que trabajó durante un período de 50 años a partir de 1678. Solo dos publicaciones (1700 y 1710) contienen resultados sobre sistemas de coeficientes y utilizan la misma notación que en su carta a de l’Hôpital mencionado anteriormente.

Leibniz usó la palabra ‘resultante’ para ciertas sumas combinatorias de términos de un determinante. Probó varios resultados en los resultantes, incluyendo lo que es esencialmente la regla de Cramer. También sabía que un determinante podría expandirse usando cualquier columna, lo que ahora se llama expansión de Laplace. Además de estudiar los sistemas de coeficientes de ecuaciones que lo llevaron a determinantes, Leibniz también estudió los sistemas de coeficientes de formas cuadráticas que condujeron naturalmente a la teoría de matrices.

En la década de 1730, Maclaurin escribió Tratado de álgebra, aunque no se publicó hasta 1748, dos años después de su muerte. Contiene los primeros resultados publicados sobre determinantes que prueban la regla de Cramer para sistemas 2 × 2 y 3 × 3 e indican cómo funcionaría el caso 4 × 4. Cramer dio la regla general para los sistemas n × n en una introducción al análisis de curvas algebraicas (1750). Surgió del deseo de encontrar la ecuación de una curva plana que pasa por varios puntos dados. La regla aparece en un Apéndice del documento, pero no se proporcionan pruebas:

Uno encuentra el valor de cada desconocido formando n fracciones de las cuales el denominador común tiene tantos términos como permutaciones de n cosas.

Cramer continúa explicando con precisión cómo se calculan estos términos como productos de ciertos coeficientes en las ecuaciones y cómo se determina el signo. También dice cómo se pueden encontrar los n numeradores de las fracciones reemplazando ciertos coeficientes en este cálculo por términos constantes del sistema.

El trabajo sobre los determinantes ahora comenzó a aparecer regularmente. En 1764, Bezout dio métodos de cálculo de determinantes como lo hizo Vandermonde en 1771. En 1772, Laplace afirmó que los métodos introducidos por Cramer y Bezout no eran prácticos y, en un documento donde estudió las órbitas de los planetas interiores, discutió la solución de sistemas ecuaciones lineales sin calcularlo realmente, utilizando determinantes. Sorprendentemente, Laplace usó la palabra ‘resultante’ para lo que ahora llamamos determinante: sorprendente, ya que es la misma palabra utilizada por Leibniz, sin embargo, Laplace debe haber ignorado el trabajo de Leibniz. Laplace dio la expansión de un determinante que ahora lleva su nombre.

Lagrange, en un artículo de 1773, estudió las identidades de los determinantes funcionales 3 × 3. Sin embargo, este comentario se hace en retrospectiva ya que el propio Lagrange no vio ninguna conexión entre su trabajo y el de Laplace y Vandermonde. Sin embargo, este documento de 1773 sobre mecánica contiene lo que ahora consideramos como la interpretación del volumen de un determinante por primera vez. Lagrange mostró que el tetraedro formado por O (0,0,0) y los tres puntos M (x, y, z), M ‘(x’, y ‘, z’), M “(x”, y “, z “) tiene volumen

1/6 [z (x’y “- y’x”) + z ‘(yx “- xy”) + z “(xy’ – yx ‘)].

El término “determinante” fue introducido por primera vez por Gauss en Disquisitiones arithmeticae (1801) al analizar formas cuadráticas. Usó el término porque el determinante determina las propiedades de la forma cuadrática. Sin embargo, el concepto no es el mismo que el de nuestro determinante. En el mismo trabajo, Gauss expone los coeficientes de sus formas cuadráticas en matrices rectangulares. Describe la multiplicación de matrices (que él considera composición, por lo que aún no ha alcanzado el concepto de álgebra matricial) y el inverso de una matriz en el contexto particular de las matrices de coeficientes de formas cuadráticas.

La eliminación gaussiana, que apareció por primera vez en el texto Nueve capítulos sobre el arte matemático escrito en 200 a. C., fue utilizada por Gauss en su trabajo que estudiaba la órbita del asteroide Pallas. Usando observaciones de Pallas tomadas entre 1803 y 1809, Gauss obtuvo un sistema de seis ecuaciones lineales en seis incógnitas. Gauss dio un método sistemático para resolver tales ecuaciones, que es precisamente la eliminación gaussiana en la matriz de coeficientes.

Fue Cauchy en 1812 quien usó ‘determinante’ en su sentido moderno. El trabajo de Cauchy es el más completo de los primeros trabajos sobre determinantes. Reprobó los resultados anteriores y dio nuevos resultados propios sobre menores y adjuntos. En el documento de 1812, el teorema de multiplicación para determinantes se prueba por primera vez, aunque, en la misma reunión del Institut de France, Binet también leyó un documento que contenía una prueba del teorema de multiplicación, pero fue menos satisfactorio que el dado por Cauchy .

En 1826 Cauchy, en el contexto de formas cuadráticas en n variables, usó el término ‘cuadro’ para la matriz de coeficientes. Encontró los valores propios y dio resultados sobre la diagonalización de una matriz en el contexto de convertir una forma en la suma de cuadrados. Cauchy también introdujo la idea de matrices similares (pero no el término) y demostró que si dos matrices son similares, tienen la misma ecuación característica. También, nuevamente en el contexto de las formas cuadráticas, demostró que cada matriz simétrica real es diagonalizable.

Jacques Sturm dio una generalización del problema del valor propio en el contexto de la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. De hecho, el concepto de un valor propio apareció 80 años antes, nuevamente en el trabajo sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, por D’Alembert estudiando el movimiento de una cuerda con masas unidas en varios puntos.

Cabe destacar que ni Cauchy ni Jacques Sturm se dieron cuenta de la generalidad de las ideas que estaban presentando y las vieron solo en los contextos específicos en los que estaban trabajando. Jacobi de alrededor de 1830 y luego Kronecker y Weierstrass en las décadas de 1850 y 1860 también analizaron los resultados de la matriz, pero nuevamente en un contexto especial, esta vez la noción de una transformación lineal. Jacobi publicó tres tratados sobre determinantes en 1841. Estos fueron importantes porque, por primera vez, la definición del determinante se realizó de manera algorítmica y las entradas en el determinante no se especificaron, por lo que sus resultados se aplicaron igualmente bien a los casos en que las entradas fueron números o donde estaban las funciones. Estos tres documentos de Jacobi hicieron que la idea de un determinante fuera ampliamente conocida.

Cayley, que también escribió en 1841, publicó la primera contribución en inglés a la teoría de los determinantes. En este artículo utilizó dos líneas verticales a cada lado de la matriz para denotar el determinante, una notación que ahora se ha convertido en estándar.

Eisenstein en 1844 denotó sustituciones lineales por una sola letra y mostró cómo sumarlas y multiplicarlas como números ordinarios, excepto por la falta de conmutatividad. Es justo decir que Eisenstein fue el primero en pensar que las sustituciones lineales formaban un álgebra como se puede ver en esta cita de su artículo de 1844:

Un algoritmo de cálculo puede basarse en esto, consiste en aplicar las reglas habituales para las operaciones de multiplicación, división y exponenciación a ecuaciones simbólicas entre sistemas lineales, siempre se obtienen ecuaciones simbólicas correctas, la única consideración es que el orden de Los factores no pueden ser alterados.

El primero en usar el término ‘matriz’ fue Sylvester en 1850. Sylvester definió una matriz como una disposición oblonga de términos y la vio como algo que condujo a varios determinantes de las matrices cuadradas contenidas dentro de ella. Después de abandonar América y regresar a Inglaterra en 1851, Sylvester se convirtió en abogado y conoció a Cayley, un compañero abogado que compartía su interés por las matemáticas. Cayley vio rápidamente la importancia del concepto de matriz y en 1853 Cayley había publicado una nota que daba, por primera vez, el inverso de una matriz.

Cayley en 1858 publicó Memoir sobre la teoría de las matrices, que es notable por contener la primera definición abstracta de una matriz. Él muestra que las matrices de coeficientes estudiadas anteriormente para formas cuadráticas y para transformaciones lineales son casos especiales de su concepto general. Cayley dio una matriz de álgebra que define la suma, multiplicación, multiplicación escalar e inversas. Dio una construcción explícita del inverso de una matriz en términos del determinante de la matriz. Cayley también demostró que, en el caso de matrices 2 × 2, una matriz satisface su propia ecuación característica. Dijo que había verificado el resultado para matrices 3 × 3, indicando su prueba, pero dice:

No he pensado que sea necesario emprender el trabajo de una prueba formal del teorema en el caso general de una matriz de cualquier grado.

El hecho de que una matriz satisfaga su propia ecuación característica se denomina teorema de Cayley-Hamilton, por lo que es razonable preguntarse qué tiene que ver con Hamilton. De hecho, también demostró un caso especial del teorema, el caso 4 × 4, en el curso de sus investigaciones sobre los cuaterniones.

En 1870, la forma canónica de Jordan apareció en Tratado sobre sustituciones y ecuaciones algebraicas de Jordan. Aparece en el contexto de una forma canónica para sustituciones lineales sobre el campo finito de orden primo.

Frobenius, en 1878, escribió un trabajo importante sobre matrices sobre sustituciones lineales y formas bilineales, aunque no parecía estar al tanto del trabajo de Cayley. Frobenius en este artículo trata los coeficientes de las formas y no usa el término matriz. Sin embargo, demostró resultados importantes en matrices canónicas como representantes de clases de equivalencia de matrices. Cita a Kronecker y Weierstrass por haber considerado casos especiales de sus resultados en 1874 y 1868 respectivamente. Frobenius también demostró el resultado general de que una matriz satisface su ecuación característica. Este artículo de 1878 de Frobenius también contiene la definición del rango de una matriz que utilizó en su trabajo sobre formas canónicas y la definición de matrices ortogonales.

Sylvester definió la nulidad de una matriz cuadrada en 1884. Definió la nulidad de A, n (A), como la i mayor, de modo que cada menor de A de orden n-i + 1 es cero. Sylvester estaba interesado en invariantes de matrices, es decir, propiedades que no se modifican por ciertas transformaciones. Sylvester demostró que

max {n (A), n (B)} ≤ n (AB) ≤ n (A) + n (B).

En 1896 Frobenius se dio cuenta de la Memoria de 1858 de Cayley sobre la teoría de las matrices y después de esto comenzó a usar el término matriz. A pesar de que Cayley solo probó el teorema de Cayley-Hamilton para matrices 2 × 2 y 3 × 3, Frobenius atribuyó generosamente el resultado a Cayley a pesar de que Frobenius había sido el primero en probar el teorema general.

Weierstrass utilizó una definición axiomática de un determinante en sus conferencias y, después de su muerte, se publicó en 1903 en la nota sobre la teoría determinante . En el mismo año también se publicaron las conferencias de Kronecker sobre los determinantes, nuevamente después de su muerte. Con estas dos publicaciones, la teoría moderna de los determinantes estaba en su lugar, pero la teoría de la matriz tardó un poco más en convertirse en una teoría totalmente aceptada. Un primer texto importante que llevó a las matrices a su lugar apropiado dentro de las matemáticas fue Introducción al álgebra superior por Bôcher en 1907. Turnbull y Aitken escribieron textos influyentes en la década de 1930 y Una introducción al álgebra lineal en 1955 vio cómo la teoría de matrices alcanzaba su papel principal en la actualidad. como uno de los temas matemáticos de pregrado más importantes.

Fuente: Temas de historia: matrices y determinantes