Deje que [math] M (n, \ R) [/ math] sea el espacio de todas las transformaciones lineales y deje que [math] \ Theta (n) [/ math] sea el espacio de transformaciones lineales ortogonales que es un subconjunto de [math ] M (n, \ R) [/ matemáticas].
Para demostrar que [math] \ Theta (n) [/ math] es compacto, utilizaremos el teorema de Heine-Borel que dice que cualquier subconjunto compacto de [math] \\ R ^ {n \ times n} [ / math] es compacto si está cerrado y acotado. No debería ser demasiado difícil comprobar [math] \ Theta (n) [/ math] es isomorfo a un subconjunto de [math] \ R ^ {n \ times n} [/ math].
Ahora defina el siguiente mapa [math] g: M (n, \ R) \ longrightarrow M (n, \ R), A \ mapsto A ^ {T} A [/ math]
Observe [math] \ Theta (n) = g ^ {- 1} (\ mathbb {1}) [/ math]
- ¿Cómo pensaron los matemáticos el concepto de matriz y determinantes?
- ¿Es el vector de aceleración producto del desplazamiento y el tiempo?
- ¿Cuál es la divergencia de [matemáticas] \ frac {\ vec {r} (\ vec {r}. \ Vec {a})} {r ^ 3} [/ matemáticas]?
- ¿Es una matriz como un conjunto en matemáticas?
- ¿Qué es la división izquierda de la matriz?
El mapa [math] g (A) = A ^ {T} A [/ math] es un mapa continuo porque es un polinomio en las entradas de la matriz de [math] g [/ math]. También puede probar que es continuo usando la definición topológica donde la topología es inducida por la norma del operador pero esto no es necesario.
Como [math] g [/ math] es continuo, el inverso de un solo elemento [math] \ {\ mathbb {1} \} [/ math] (que obviamente está cerrado) es un conjunto cerrado.
Además, dado que [matemáticas] \ | A (v) \ | = \ | v \ | [/ math] para todos [math] A \ in \ Theta (n) [/ math]
[matemáticas] \ Theta (n) [/ matemáticas] se encuentra en la bola 1 y por lo tanto acotada. Entonces [math] \ Theta (n) [/ math] es compacto.
Para probar la propiedad de Hausdorff, una vez más se puede introducir una biyección [matemática] \ phi [/ matemática] de [matemática] M (n, \ R) [/ matemática] a [matemática] \ R ^ {n \ veces n} [ /matemáticas]
[math] \ R ^ {n \ times n} [/ math] está equipado con la topología estándar que es Hausdorff para que pueda usar el mapa [math] \ phi [/ math] y la topología en [math] \ R ^ {n \ times n} [/ math] para inducir una topología en [math] M (n, \ R) [/ math], que también es Hausdorff. Entonces [math] \ Theta (n) [/ math] es un subconjunto de [math] M (n, \ R) [/ math] hereda la topología del subconjunto y dado que el subespacio de un espacio de Hausdorff es Hausdorff, hemos demostrado [math ] \ Theta (n) [/ math] es un espacio de Hausdorff.