Cómo demostrar que el grupo de transformaciones ortogonales es compacto y hausdorff

Deje que [math] M (n, \ R) [/ math] sea el espacio de todas las transformaciones lineales y deje que [math] \ Theta (n) [/ math] sea el espacio de transformaciones lineales ortogonales que es un subconjunto de [math ] M (n, \ R) [/ matemáticas].

Para demostrar que [math] \ Theta (n) [/ math] es compacto, utilizaremos el teorema de Heine-Borel que dice que cualquier subconjunto compacto de [math] \\ R ^ {n \ times n} [ / math] es compacto si está cerrado y acotado. No debería ser demasiado difícil comprobar [math] \ Theta (n) [/ math] es isomorfo a un subconjunto de [math] \ R ^ {n \ times n} [/ math].

Ahora defina el siguiente mapa [math] g: M (n, \ R) \ longrightarrow M (n, \ R), A \ mapsto A ^ {T} A [/ math]

Observe [math] \ Theta (n) = g ^ {- 1} (\ mathbb {1}) [/ math]

El mapa [math] g (A) = A ^ {T} A [/ math] es un mapa continuo porque es un polinomio en las entradas de la matriz de [math] g [/ math]. También puede probar que es continuo usando la definición topológica donde la topología es inducida por la norma del operador pero esto no es necesario.

Como [math] g [/ math] es continuo, el inverso de un solo elemento [math] \ {\ mathbb {1} \} [/ math] (que obviamente está cerrado) es un conjunto cerrado.

Además, dado que [matemáticas] \ | A (v) \ | = \ | v \ | [/ math] para todos [math] A \ in \ Theta (n) [/ math]

[matemáticas] \ Theta (n) [/ matemáticas] se encuentra en la bola 1 y por lo tanto acotada. Entonces [math] \ Theta (n) [/ math] es compacto.

Para probar la propiedad de Hausdorff, una vez más se puede introducir una biyección [matemática] \ phi [/ matemática] de [matemática] M (n, \ R) [/ matemática] a [matemática] \ R ^ {n \ veces n} [ /matemáticas]

[math] \ R ^ {n \ times n} [/ math] está equipado con la topología estándar que es Hausdorff para que pueda usar el mapa [math] \ phi [/ math] y la topología en [math] \ R ^ {n \ times n} [/ math] para inducir una topología en [math] M (n, \ R) [/ math], que también es Hausdorff. Entonces [math] \ Theta (n) [/ math] es un subconjunto de [math] M (n, \ R) [/ math] hereda la topología del subconjunto y dado que el subespacio de un espacio de Hausdorff es Hausdorff, hemos demostrado [math ] \ Theta (n) [/ math] es un espacio de Hausdorff.

Si les da la topología subespacial de [math] \ mathbb R ^ n [/ math] para que una entrada sea n-ple [math] (a_ {11}, a_ {12}, …, a_ {nn}) [/ math] entonces parece claro, por el requisito de que [math] OO ^ T = I [/ math] que están delimitados. Creo que no es demasiado difícil mostrar que están cerrados mostrando que el complemento está abierto: si [matemática] AA ^ T \ neq I [/ matemática] entonces puedes encontrar una pequeña bola alrededor de un punto para que esta condición aún se mantenga. En términos de Hausdorff, son un subespacio de [math] \ mathbb R ^ n [/ math] que es en sí mismo Hausdorff. Un subespacio de un espacio de Hausdorff es Hausdorff.